Авторы учебника: Ю.М. Колягин, М.В. Ткачёва, Н.Е. Фёдорова, М.И. Шабунин

Уравнения, имеющие одно и то же множество корней, называются равносильными

1)Уравнения 9x-5=5x+3 и 4x=8 равносильны, так как каждое из них имеет только один корень x=2. 2)Уравнения (x-3)(x+7)=0 и x 2 +4x-21=0 также равносильны, так как они имеют одни и те же корни x 1 =3, x 2 =-7. 3)Уравнения 2x=4 и 3x 2 =12 не равносильны, так как первое имеет корень x=2, а второе – корни x 1 =2, x 2 =-2.

Из определения равносильности уравнений следует, что два уравнения равносильны, если каждый корень первого уравнения является корнем второго уравнения и, наоборот, если каждый корень второго уравнения является корнем первого уравнения. Уравнения, не имеющие корней, также считают равносильными.

1)Любой член уравнения можно переносить из одной части в другую, изменив его знак на противоположный; 2)Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю. При этих преобразованиях исходное уравнение заменяется на равносильное ему уравнение.

Например: При возведении в квадрат обеих частей уравнения x=x-2 получается уравнение x=(x-2) 2, не равносильное исходному: первое уравнение имеет только один корень x=4, а второе – два корня x 1 =4, x 2 =1. В этом случае второе уравнение называют следствием первого уравнения. Если при переходе от одного уравнения к другому потери корней не происходит, то второе уравнение называют следствием первого уравнения.

Если все корни первого уравнения являются корнями второго уравнения, то второе уравнение называется следствием первого уравнения.

1)Если два уравнения равносильны, то каждое из них является следствием другого; 1) Если каждое из двух уравнений является следствием другого, то эти уравнения равносильны.