Применение производной для исследования функций. 1. Нахождение промежутков возрастания функции. 2. Нахождение промежутков убывания функции. 3. Нахождение промежутков постоянства функции. 4. Нахождение экстремумов. 5. Решение уравнений. 6. Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции, непрерывной на отрезке.

Монотонность функции Убывает на (- ; x, x ) Возрастает на х 1 ; х 2. Постоянна на а;в у х У= f(x) x1x1 х 2 х 2 ав

Исследование функции на возрастание У Х Если f '(x) >0 в каждой точке интервала I, то функция f монотонно возрастает на интервале I. АЛГОРИТМ 1.D(f) 2. f '(x) 3. Решить неравенство f '(x)>0 4. Выписать промежутки, где производная имеет знак «+». у=f(x) х 2 х 2 х 1 х 1

Исследование функции на убывание у у Если в каждой точке интервала I f '(x)<0, то функция у = f(x) монотонно убывает на этом промежутке. АЛГОРИТМ 1.D(f) 2. f '(x) 3. Решить неравенство f '( () ) <0 4. Выписать промежутки, где производная имеет знак «-». Х 0 х 0 х 0 У = f(x)

Исследование функции на постоянство у у = f(x) о х а в у у = f(x) о х а в Функция у = f(x) постоянна на интервале (а; в) тогда и только тогда, когда f '(x) = 0 в каждой точке этого интервала.

ЭКСТРЕМУМЫ Необходимое условие экстремума Если Х0 – точка экстремума функции У = f (x), то эта точка является критической точкой данной функции, т.е. в этой точке производная либо равна нулю, либо она не существует. Если f '(x)>0 при х < x 0 и f '(x) x 0, то Х 0 – точка максимума. Если f '(x)>0 при х < x 0 и f '(x) x 0, то Х 0 – точка максимума. ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ЭКСТРЕМУМА Если функция у = f(x) непрерывна в точке Х 0 и производная f '(x) меняет знак в этой точке, то Х 0 – ТОЧКА ЭКСТРЕМУМА функции у = f (x) Если f '(x)<0 при х<x 0 и f '(x)>0 при x>Х 0, то Х 0 – точка минимума. Если f '(x)<0 при х<x 0 и f '(x)>0 при x>Х 0, то Х 0 – точка минимума. f '(x)>0 f '(x)=0 f '(x)<0 Х мах Х min f '- НЕ СУЩЕСТВУЕТ Хмах У Х ?

СХЕМА ПРИМЕНЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ИНТЕРВАЛОВ МОНОТОННОСТИ И ЭКСТРЕМУМОВ Характер изменения функции

А с и м п т о т ы Прямая у = кх +в называется асимптотой графика функции у = f (x), если расстояние от точки М графика функции до прямой у = кх + в стремиться к нулю при бесконечном удалении точки М. х У у = в У= f(x) у 0 а Х = а М.М..М.М 0 Х У = f(x). М у = кх + в y=f(x) У 0Х

СХЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ И ПОСТРОЕНИЕ ЕЁ ГРАФИКА. 1. НАХОЖДЕНИЕ ОБЛАСТИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ОБЛАСТИ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ. 2. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ НА ЧЕТНОСТЬ И НЕЧЕТНОСТЬ. 3. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ НА ПЕРИОДИЧНОСТЬ. 4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТОЧЕК ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ГРАФИКА ФУНКЦИИ С ОСЯМИ КООРДИНАТ И ИНТЕРВАЛОВ, ГДЕ ФУНКЦИЯ СОХРАНЯЕТ ЗНАК. 5. НАХОЖДЕНИЕ АСИМПТОТ ГРАФИКА ФУНКЦИИ. 6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТОЧЕК ЭКСТРЕМУМОВ ФУНКЦИИ. 7. ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА. 1. НАХОЖДЕНИЕ ОБЛАСТИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ОБЛАСТИ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ. 2. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ НА ЧЕТНОСТЬ И НЕЧЕТНОСТЬ. 3. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ НА ПЕРИОДИЧНОСТЬ. 4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТОЧЕК ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ГРАФИКА ФУНКЦИИ С ОСЯМИ КООРДИНАТ И ИНТЕРВАЛОВ, ГДЕ ФУНКЦИЯ СОХРАНЯЕТ ЗНАК. 5. НАХОЖДЕНИЕ АСИМПТОТ ГРАФИКА ФУНКЦИИ. 6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТОЧЕК ЭКСТРЕМУМОВ ФУНКЦИИ. 7. ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА.

Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке. Функция, непрерывная на отрезке, достигает своего наибольшего и наименьшего значений на этом отрезке либо в критических точках, принадлежащих отрезку, либо на его концах. f(b) у = f(x) f(a) f(xmin) 0 а Х min в х Хmax maх f(x) = f (x max ) [a;b] min f(x) = f (x min ) [a;b] 0 а Хmax в х min f(x)=f(b) [a;b] max f(x)=f(xmax) у [а;b] 0 а Х min Хmax b х maxf(x)=f(a) [а;b] minf(x)=f(b) [a;b] у f(x max ) у f(b) f(a) f(x max ) у f(a) f(xmax) f(xmin) f(b)

۩ Схема нахождения наибольшего и наименьшего значений функции, непрерывной на отрезке ЭТАПЫ 1. Найти производную 2. Найти на данном отрезке критические точки, т.е. точки, в которых f (x)=0 или не существует 3. Вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка. 4. Из вычисленных значений выбрать наименьшее и наибольшее. пример для функции у = 2 x³-3x²-36x+5 на отрезке [0;4] 1. f ' (x)=6x²-6x f '(x)=0 при х = -2 и при х = 3. Отрезку [0;4] принадлежит только одна критическая точка: х = f (0)=5; f (3)=-76; f (4)= max f(x)=f(0)=5; min f(x)=f(3)=-76 [0;4] [0;4]