Ребята, давайте отметим на числовой окружности точку Р, посмотрите рисунок, наша точка Р соответствует некоторому числу t числовой окружности, тогда абсциссу точки Р будем называть косинусом числа t и обозначать cos(t), а ординату точки Р назовем синусом числа t и обозначим sin(t). Наша точка Р(t) = Р(x,y) тогда: X = cos(t) Y = sin(t) А как будет выглядеть запись синуса и косинуса на математическом языке? Давайте посмотрим:

Отношение синуса числа t к косинусу того же числа называют тангенсом числа t и обозначают tg(t). Отношение косинуса числа t к синусу того же числа называют котангенсом числа t и обозначают ctg(t). Стоит заметить, так как на 0 делить нельзя, то, для тангенса cos(t) 0, а для котангенса sin(t) 0 Так же важно определить понятие тангенса и котангенса числа t числовой окружности, запишем определения:

Давайте вспомним уравнение числовой окружности: нашему числу Х соответствует абсцисса координатной плоскости, а числу Y – ордината, посмотрим определение синуса и косинуса на первом слайде и получим: Важно, запомните! Значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса в четвертях окружности:

не сущ. – не существует значение, т.к. на 0 делить нельзя

Для любого числа t справедливы равенства: sin(-t) = -sin(t) cos(- t) = cos(t) tg(- t) = -tg(t) ctg(- t) = -ctg(t) sin(t + 2π k ) = sin(t) cos(t +2π k ) = cos(t) sin(t + π ) = -sin(t) cos(t +π ) = -cos(t) tg(t + π k ) = tg(t) ctg(t +π k ) = ctg(t) sin(t + π/2 ) = cos(t) cos(t +π/2 ) = -sin(t)

Для чего нужны синусы и косинусы в обычной жизни? На практике синусы и косинусы применяются во всех инженерных специальностях, особенно в строительных. Их используют моряки и летчики в расчетах курса движения. Не обходятся без синусов и косинусов геодезисты, и даже путешественники. В географии применяют для измерения расстояний между объектами, а также в спутниковых навигационных системах.

Вычислить синус и косинус t при: t=53π/4 Решение: Т.к. числам t и t+2πk (k-целое число) соответствует одна и тоже точка числовой окружности: 53π/4 = (12 + 5/4) π = 12π +5π/4 = 5π/4 + 2π6 Воспользуемся свойством sin(t + 2π k ) = sin(t), cos(t +2π k ) = cos(t) sin(5π/4 + 2π6 ) = sin(5π/4 ) = sin(π/4 + π) cos(5π/4 + 2π6 ) = cos(5π/4 )= cos(π/4 + π) Воспользуемся свойством sin(t + π ) = -sin(t), cos(t +π) = -cos(t) sin(π/4 + π )=-sin(π/4 ) cos(π/4 + π)=-cos(π/4 ) Из таблицы значений синуса и косинуса получаем: sin(53π/4 ) = cos(53π/4 ) =

Решение: Вычислить синус и косинус t при: t= -49π/3 Т.к. числам t и t+2πk (k-целое число) соответствует одна и тоже точка числовой окружности то: -49π/3 = -(16 + 1/3) π = -16π +(-π/3) = (-π/3) + 2π(-8) Воспользуемся свойством sin(t + 2π k ) = sin(t), cos(t +2π k ) = cos(t) sin(-π/3 + 2π(-8) )=sin(-π/3 ) cos(-π/3 + 2π(-8) )=cos(-π/3 ) Воспользуемся свойством sin(- t) = -sin(t), cos(- t) = cos(t) sin(-π/3)=-sin(π/3 ) cos(-π/3)=cos(π/3 ) Из таблицы значений синуса и косинуса получаем: sin(-49π/3 ) = - cos(-49π/3)=

Решить уравнение a) sin(t)=, б) sin(t) > Решение: sin(t) – из определения, это ордината точки числовой окружности. Значит на числовой окружности нужно найти точки с ординатой и записать, каким числам t, они соответствуют - точки F и G на рисунке. а) Точка F и G имеют координаты: π/3 +2 π k и 2π/3 +2 π k Ответ : a) t= π/3 +2 π k и t= 2π/33 +2 π k б)π/3 +2 π k <t<2π/3 +2 π k б) Уравнению y > ½ это дуга FG тогда: π/3 +2 π k <t<2π/3 +2 π k

Решить уравнение а)cos(t)=1/2 б) cos(t)>1/2 cos(t) – из определения, это абсцисса точки числовой окружности. Значит на числовой окружности нужно найти точки с абсциссой равной 1/2 и записать, каким числам t, они соответствуют – точки F и G на рисунке а) Точка F и G соответствуют координаты: -π/3 +2 π k и π/3 +2 π k Ответ : а) t= -π/3 +2 π k и t=π/3 +2 π k б) –π/3 +2 π k <t< π/3 +2 π k б) Уравнению x >1/2 соответствует дуга FG тогда: -π/3 +2 π k <t< π/3 +2 π k

Решение: Вычислить тангенс и котангенс t при: t= -7π/3 Т.к. числам t и t+2πk (k-целое число) соответствует одна и тоже точка числовой окружности то: -7π/3 = -(2 + 1/3) π = -2π +(-π/3) = (-π/3) + 2π Воспользуемся свойством tg(x+ π k ) = tg(x), ctg(x+π k ) = ctg(x) tg((-π/3) + 2π ) = tg(- π/3) сtg((-π/3) + 2π ) = сtg(- π/3) Воспользуемся свойством tg(-x) = -tg(x), ctg(-x) = -ctg(x) tg(-π/3)=-tg(π/3 ) сtg(-π/3)=-сtg(π/3 ) Из таблицы значений получаем: tg(-7π/3) = -tg(π/3 ) = сtg(-7π/3) = -сtg(π/3 ) = -

1) Вычислить синус и косинус t при: t=61π/6, t= -52π/3 2) Решить уравнение a) sin(t)= -½, б) sin(t) > -½ в) sin(t) < -½ 3) Решить уравнение а) cos(t) = -½, б) cos(t) > -½, в) cos(t) < ½, 4) Вычислить тангенс и котангенс t при: а) t= 19π/6 б) t= 41π/4