Стр. 1 Часть 14 – Основы метода Эйлера

Стр. 2 Часть 14 – Основы метода Эйлера СОДЕРЖАНИЕ Основные положения метода Эйлера Основы метода конечных объёмов Цикл вычислений Критерий Куранта

Стр. 3 Часть 14 – Основы метода Эйлера ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ МЕТОДА ЭЙЛЕРА Дискретизация исследуемой области с использованием объёмных элементов Сетка неподвижна в пространстве Объём элементов постоянен Узлы сетки не имеют степеней свободы Материал перемещается (течёт) от одного элемента к другому

Стр. 4 Часть 14 – Основы метода Эйлера УРАВНЕНИЯ, ОПИСЫВАЮЩИЕ ЭЙЛЕРОВУ СРЕДУ Поведение материала в эйлеровой части модели описывается 4-мя уравнениями состояния V(P,t) – скорость течения материала в точке P в момент времени t (P,t) – плотность материала в точке P в момент времени t e(P,t) – удельная внутренняя энергия материала в точке P в момент времени t ij (P,t) – напряжения в материале в точке P в момент времени t Эти уравнения обеспечивают выполнение основных физических законов: Уравнение непрерывности – закон сохранения массы Уравнение для количества движения – 2-ой закон динамики (Ньютона) Уравнение для энергии – 1-ое начало термодинамики Уравнение состояния Уравнение состояния: p=f(,e) Связь между напряжениями и деформациями Пластичность (текучесть) материала Разрушение

Стр. 5 Часть 14 – Основы метода Эйлера ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПОДХОДА ЭЙЛЕРА В MSC.Dytran Метод конечных объёмов В пространственной области решение основано на методе конечных объёмов Интегрирование по времени Во временной области решение основано на использовании метода центральных разностей и явной схеме интегрирования Аналогичный метод решения во временной области применяется и для вычислений с лагранжевой частью расчётной модели

Стр. 6 Часть 14 – Основы метода Эйлера ОСНОВЫ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ОБЪЁМОВ Элементы эйлеровой части модели рассматриваются в качестве конечных объёмов Масса, скорость, внутренняя энергия и напряжения определяются для центра элемента и эти значения распространяются на весь элемент Выполняется интегрирование по поверхности эйлеровых элементов Для интегрирования по поверхности используется одноточечная аппроксимация (для центра грани элемента) Значение составляющей интеграла для каждой из граней определяется осреднением соответствующих величин, вычисленных для центров соседних элементов Указанное простое осреднение соответствует первому порядку точности Значение составляющей интегралов для граней необходимы для Вычисления переноса материала (скорости течения через грань) Вычисления изменения импульса и работы

Стр. 7 Часть 14 – Основы метода Эйлера ПРЕИМУЩЕСТВА МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ОБЪЁМОВ Возможно моделирование очень больших деформаций – материал как-бы течёт внутри эйлеровой сетки Исключены трудоёмкие операции по построению конечно- элементной сетки Предотвращается уменьшение шага интегрирования до недопустимо малых величин за счёт исключения использования плотной сетки и элементов малого размера

Стр. 8 Часть 14 – Основы метода Эйлера ЦИКЛ ВЫЧИСЛЕНИЙ Начало шага интегрирования Конец шага интегрирования m H M H W H m E M T T W E x · T E E T E E P E E E M E X · E Уравнения переноса массы, импульса и энергии Уравнения для предварительного вычисления скорректированной скорости и внутренней энергии Уравнения состояния Уравнения сохранения импульса m – масса M – импульс W – полная энергия B – начальный момент времени, t n-1 H – промежуточный момент времени, t n-1/2 E – окончательный момент времени, t n u – скорость - плотность P - давление

Стр. 9 Часть 14 – Основы метода Эйлера ОПРЕДЕЛЕНИЕ ШАГА ИНТЕГРИРОВАНИЯ Шаг интегрирования вычисляется с использованием критерия Куранта Критерий Куранта основан на учёте минимального промежутка времени, необходимого для распространения волны напряжений на расстояние, равное размеру элемента В лагранжевом решателе шаг интегрирования зависит только от скорости звука в материале и наименьшего размера элемента L При определении шага интегрирования в эйлеровом решателе принимается во внимание суперпозиция скорости распространения волны напряжений в материале и скорости перемещения самого материала и, соответственно t = S·L/(u + c), где по умолчанию S = 2/3 Причина этого – несвязанность перемещения материала и сетки (в случае же лагранжева решателя сетка перемещается вместе с материалом)