NAS101, Page 7-1 Раздел 7 Линейный анализ устойчивости

NAS101, Page 7-2 Теория устойчивости q Запишем уравнение равновесия конструкции, к которой приложена система постоянных сил, в следующем виде: [ K ] { u } = { P } q Рассмотрим эффект дифференциальной (геометрической) жесткости. Дифференциальная жесткость [ K d ] появляется в результате учета членов высокого порядка в зависимостях деформация- перемещение. Эти зависимости подразумевают, что перемещения в конструкции не зависят от интенсивности нагрузки.

NAS101, Page 7-3 Теория устойчивости (продолжение) Пусть произвольный скалярный множитель для другой "интенсивности" нагрузки. q При нагружении конструкции данной силой с различной интенсивностью, могут быть найдены несколько положений неустойчивого равновесия. Эти положения равновесия являются решениями задачи на собственные значения.

NAS101, Page 7-4 Решение задачи на собственные значения [ K – K d ] { } = 0(1) Решение нетривиально (отлично от нуля) только для определенных значений = i для i = 1, 2, 3,…, n которые делают матрицу [ K – K d ] сингулярной.

NAS101, Page 7-5 Решение задачи на собственные значения (продолжение) Каждому собственному значению i, соответствует единственный собственный вектор { i }. { i } может быть масштабирован с помощью любого скалярного множителя и по прежнему оставаться решением уравнения (1). Компоненты вектора { i } - вещественные числа..

NAS101, Page 7-6 Последовательности решений для задач устойчивости SOL 105Линейная устойчивость SOL 106Нелинейная устойчивость Ограничения для SOL 105 q Требования к конструкции до потери устойчивости: Перемещения должны быть малы. Напряжения должны быть в упругой области (и линейно зависеть от деформаций).

NAS101, Page 7-7 Последовательности решений для задач устойчивости (продолжение) Пример:Три класса колонн (под центральной нагрузкой, материал без дефектов) Тонкая Средняя Короткая Теряет форму из-за потери устойчивости. Прогиб, при потере устойчивости мал и критическая нагрузка не достигает предела текучести материала. Это колонна Эйлера. Причина потери формы – комбинация текучести и потери устойчивости. Прогиб при потере устойчивости мал, но некоторые напряжения превышают предел упругости материала. Причина потери формы – текучесть (также, как при тестовом сжатии образца )

NAS101, Page 7-8 Последовательности решений для задач устойчивости (продолжение) Примечание: SOL 105 может применяться для конструкций с небольшими дефектами материала или с очень малым эксцентриситетом нагрузки (например, когда нагрузка направлена не строго в центр и приводит к небольшому изгибу). Здесь инженеру надо исходить из здравого смысла. Те же соображения применимы при анализе пластин.

NAS101, Page 7-9 Примеры нелинейного анализа устойчивости Колонна под нагрузкой с большим эксцентриситетом Прощелкивание тонкой оболочки (подобно дну бака) Перед потерей устойчивости возникают большие изгибающие напряжения, такие же как и сжимающие осевые напряжения. Перед потерей устойчивости возникают большие прогибы, и возможно не упругое поведение конструкции.

NAS101, Page 7-10 Правила для анализа устойчивости SOL 105 (Для справки необходимо смотреть раздел 13, MSC/NASTRAN Linear Statics Users Guide) q Секция CASE CONTROL должна содержать не менее двух SUBCASE. q Запросы на вывод, которые относятся только к решению статической задачи должны быть помещены в первом SUBCASE. qMETHOD должен появиться в отдельном SUBCASE для выбора записей EIGB или EIGRL из секции BULK DATA для решения задач устойчивости. q Если имеется несколько статических решений, тогда используйте команду STATSUB для выбора варианта одного из статических решений для дальнейшего решения задачи устойчивости.

NAS101, Page 7-11 Правила для анализа устойчивости SOL 105 (продолжение) q Если необходимо, могут использоваться различные условия в SPC узлах в SUBCASE статического решения и SUBCASE решения задачи устойчивости. q Запросы на вывод могут быть помещены в любом выбранном SUBCASE. q Запросы на вывод, действующие одновременно и в статическом расчете и в анализе устойчивости могут быть помещены выше уровня SUBCASE.

NAS101, Page 7-12 Записи для линейного анализа устойчивости Секция EXECUTIVE CONTROL SOL 105 Секция CASE CONTROL SUBCASE 1 LOAD = M Определяет условия статического нагружения (LOAD, TEMP, DEFORM) SUBCASE 2 METHOD = N STATSUB = i Выбирает метод нахождения собственных значений Выбирает SUBCASE статического решения чтобы использовать его для решения задачи устойчивости (по умолчанию берется первый SUBCASE)

NAS101, Page 7-13 Записи для линейного анализа устойчивости (продолжение) Секция CASE CONTROL должна содержать не менее двух SUBCASE. Секция BULK DATA Определение условий статического нагружения EIGB Данные для нахождения собственного значения или EIGRL Данные для нахождения собственного значения по методу Ланцоша.

NAS101, Page 7-14 Запись EIGRL EIGRL Рекомендуемая запись для расчета устойчивости Определяет данные, необходимые для проведения решения задачи на собственные значения и анализа устойчивости методом Ланцоша EIGRLSIDV1V2NDMSGLVLMAXSETSHFSCLNORM EIGRL

NAS101, Page 7-15 Запись EIGRL (продолжение) Поле Содержание SIDИдентификатор набора (уникальное целое число > 0) V1, V2Анализ вибрации: диапазон интересующих частот Анализ устойчивости: диапазон интересующих NDЧисло необходимых корней (целое > 0 или оставлять чистым) MSGLVLУровень диагностики (целое, от 0 до 3 или оставлять чистым) MAXSETЧисло векторов в блоке (целое, от 1 до 15 или оставлять чистым)

NAS101, Page 7-16 Пример - простая колонна Эйлера Задача Найти критическую нагрузку и соответствующую ей первую форму потери устойчивости цилиндрического стержня. 21 дюйм Свободно Зафиксировано Круглое сечение Диаметр = 0.25 дюйма E = 30.E+6 фунтов/дюйм 2 I = 1.917E-4 дюйм 4 Площадь = 4.909E-2 дюйм 2

NAS101, Page 7-17 Пример - простая колонна Эйлера (продолжение) Теоретическое решение где Leff= эффективная длина колонны = 2L для свободно опертой колонны

NAS101, Page 7-18 Пример - простая колонна Эйлера (продолжение) Модель MSC.Nastran Решение MSC.Nastran Значение силы в записи FORCE P cr = ×1.0 = фунта Собственное значение

NAS101, Page 7-19 Пример - простая колонна Эйлера – входной файл

NAS101, Page 7-20 Пример - простая колонна Эйлера – выходной файл Первое собственное значение : P cr = 1 x 10 фунтов = фунта Первый собственный вектор (дает форму потери устойчивости)

NAS101, Page 7-21 Литература по анализу устойчивости 1. MSC Seminar Notes, MSC/NASTRAN Material and Geometric Nonlinear Analysis: 2.MSC.Nastran Linear Static Analysis Users Guide, Section MSC.Nastran Verification Problem Manual (Version 64, January 1986 Edition): Problem A, Lateral Buckling of a Cantilever Beam Problem A, Simple Frame Analysis with Buckling Problem S, Euler Buckling of a Simply Supported Beam

NAS101, Page 7-22 Литература по анализу устойчивости (продолжение) 4.MSC.Nastran Demonstration Problem Manual (Version 64, March 1985 Edition): Under Elastic Stability Analysis, see Demonstration Problem D0504A, Flexural Buckling of a Beam 5.MSC.Nastran Application Notes October 1978Buckling and Real Eigenvalue Analysis of Laminated Plates September 1979Static Stability of Structures with Nonlinear Differential Stiffness February 1982Elastic-Plastic Buckling of a Thin Spherical Shell November 1985Nonlinear Buckling Analysis

NAS101, Page 7-23 Пример 9 Анализ устойчивости пластины

NAS101, Page 7-24 Пример 9 (продолжение) Описание модели Та же самая модель панели что и в Примере 5, без подкреплений. В этой модели применены следующие граничные условия: Опирание на левом конце Ролики на правом конце Нулевые вертикальные перемещения на верхней и нижней гранях Приложим 100 фунт/дюйм 2 сжимающие нагрузки к правому краю пластины Общая нагрузка на правой стороне = (100) (8) (.01) = 8 –Приложите 1 фунт в каждый из узлов 11 и 55 сетки –Приложите 2 фунта в каждый из узлов 22, 33 и 44 сетки

NAS101, Page 7-25 Пример 9 (продолжение) – Граничные условия Простое опирание Опора на роликах Защемление в вертикальном направлении

NAS101, Page 7-26 Пример 9 (продолжение) – Приложенные нагрузки