NAS102 Декабрь 2001, Стр. 3-1 MSC Moscow MSC Moscow Раздел 3 Анализ собственных колебаний

NAS102 Декабрь 2001, Стр. 3-2 MSC Moscow MSC Moscow Раздел 3. Анализ собственных колебаний НЕОБХОДИМОСТЬ ВЫПОЛНЕНИЯ АНАЛИЗА СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ… ОБЗОР ТЕОРИИ……………………………………………………………………………… ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ…..……………………… ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ФОРМ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ.……… МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ………….……………………………………………………… ТЕОРИЯ МЕТОДА Штурма…………………………………………………………………… МЕТОД Ланцоша………….…………………………………………………………………… ИНТЕРФЕЙС ПОЛЬЗОВАТЕЛЯ ДЛЯ МЕТОДА Ланцоша.…………………………… ИНТЕРФЕЙС ПОЛЬЗОВАТЕЛЯ ДЛЯ ДРУГИХ МЕТОДОВ……………………………… УПРАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЕМ ПРИ АНАЛИЗЕ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ……… ВИДЫ ВЫЧИСЛЯЕМЫХ ВЕЛИЧИН..……………………………………………………… ПРИМЕР 1 – МОДАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ПЛОСКОЙ ПЛАСТИНЫ.…………………… ГЕОМЕТРИЯ ПЛАСТИНЫ……………………….………………………………………… ВХОДНОЙ ФАЙЛ ДЛЯ ПРИМЕРА 1……..……………………………………………… РЕЗУЛЬТАТЫ РЕШЕНИЯ ПРИМЕРА 1..………………………………………………

NAS102 Декабрь 2001, Стр. 3-3 MSC Moscow MSC Moscow Необходимость выполнения анализа собственных колебаний q Исследование динамических характеристик конструкции. Например, если ротационную машину предполагается установить на некоторое основание, то для исключения чрезмерных вибраций необходимо убедиться, что частота вращения ротора достаточно далека от частоты собственных колебаний основания. q Исследование возможного увеличения нагрузок вследствие динамических эффектов. q Использование информации о характеристиках собственных колебаний для планирования последующего динамического анализа (переходного процесса, частотного отклика): что необходимо предпринять, чтобы расчетная модель соответствовала требованиям, предъявляемым к вычислениям. q Использование информации о характеристиках собственных колебаний для планирования последующего динамического анализа модальным методом. q Планирование экспериментального исследования конструкции: выбор мест расположения датчиков ускорений и т.п. q Оценивание конструктивных изменений.

NAS102 Декабрь 2001, Стр. 3-4 MSC Moscow MSC Moscow Обзор теории q Рассмотрим (1) q Представим решение в форме (2) (Физически это означает, что все координаты изменяются синхронно – форма деформаций системы остается постоянной, меняется только ее амплитуда.) q Из уравнения (2): (3) q Подставляя уравнения (2) и (3) в уравнение (1), имеем что (после деления на e i t ) упрощается к виду Это – формулировка задачи о собственных значениях.

NAS102 Декабрь 2001, Стр. 3-5 MSC Moscow MSC Moscow Обзор теории q Возможны два варианта: 1. Если det, то из уравнения (4): Что является тривиальным решением и с физической точки зрения не представляет интереса. 2. В противном случае, что приводит к нетривиальному решению в отношении. qТ.о., задача о собственных значениях упрощается до задачи решения уравнения: или где

NAS102 Декабрь 2001, Стр. 3-6 MSC Moscow MSC Moscow Обзор теории Если конструкция имеет N степеней свободы присоединенными массами, тогда будет N которые являются решениями собственной задачи.. Эти s( 1, 2,…, n ) – частоты собственных колебаний, характеристические частоты, фундаментальные частоты или резонансные частоты. q Собственный вектор, ассоциирующийся с частотой, называется нормальной модой или модальной формой (формой собственных колебаний). Нормальная мода соответствует некоторой форме деформаций конструкции. q При колебаниях форма конструкции в любой момент времени является линейной комбинацией её нормальных мод.

NAS102 Декабрь 2001, Стр. 3-7 MSC Moscow MSC Moscow Обзор теории Пример

NAS102 Декабрь 2001, Стр. 3-8 MSC Moscow MSC Moscow Основные свойства собственных колебаний äЕсли [K] и [M] симметричные и действительные (что характерно для конечно-элементных моделей обычных конструкций), справедливы следующие условия ортогональности: и а также Собственные частоты ( 1, 2,…) измеряются в рад/c. Для этого можно использовать также Гц (колебание/с), причем

NAS102 Декабрь 2001, Стр. 3-9 MSC Moscow MSC Moscow Основные свойства собственных колебаний q Пример: незакрепленная структура имеет форму колебаний жесткого тела. q Если конструкция не полностью закреплена, т.е. существует мода колебаний жесткого тела (без деформационная мода, ненапряженная мода) или механизм, то по крайней мере одна собственная частота будет равна нулю.

NAS102 Декабрь 2001, Стр MSC Moscow MSC Moscow Основные свойства собственных колебаний äФормы собственных колебаний произвольно масштабируются. Например, являются одними и теми же модами колебаний.,

NAS102 Декабрь 2001, Стр MSC Moscow MSC Moscow Основные свойства собственных колебаний q На практике формы колебаний нормализуются с помощью выбранного метода. В MSC.Nastran предусмотрены три метода нормализации (исключая метод Ланцоша): äЕдиничная обобщенная масса (по умолчанию) äЕдиничное значение наибольшего для каждой моды компонента набора A-set äЕдиничное значение для указанного компонента (не рекомендуется) q При использовании метода Ланцоша возможна нормализация по методу единичной обобщенной массы и методу единичного наибольшего компонента.

NAS102 Декабрь 2001, Стр MSC Moscow MSC Moscow Дополнительные свойства форм собственных колебаний q Поскольку деформации элементов, внутренние силы и напряжения в них зависят от величины деформации конструкции, могут быть вычислены дополнительные полезные модальные характеристики. Учитывая äСоотношение перемещение – деформация äСоотношение деформация - напряжение äСоотношение перемещение - сила äСоотношение перемещения – энергия деформации

NAS102 Декабрь 2001, Стр MSC Moscow MSC Moscow Дополнительные свойства форм собственных колебаний äДля выбранного модального перемещения имеем Модальные деформации Модальные напряжения Модальные силы Модальную энергию деформации äДополнительные модальные характеристики могут быть получены в табличной форме путем задания соответствующих параметров в Case Control Section или в матричной форме путем использования модуля DRMS1 на языке DMAP.

NAS102 Декабрь 2001, Стр MSC Moscow MSC Moscow Методы вычислений В MSC.Nastran предусмотрены 3 группы методов вычислений собственных значений: Последовательные (tracking) методы (см. Приложение B) Собственные значения (или собственные частоты) определяются поочередно методом итераций. Возможен выбор между двумя вариантами метода inverse power method: INV и SINV. Эти методы более приемлемы при необходимости определения небольшого количества собственных частот. В целом, метод SINV более надежен, чем метод INV. Методы трансформации (см. Приложение B) Собственная задача преобразуется в форму где

NAS102 Декабрь 2001, Стр MSC Moscow MSC Moscow Методы вычислений Затем матрица A трансформируется в тридиагональную форму с использованием метода Гивенса (Givens) или метода Хаусхолдера (Householder). После этого все собственные значения определяются одновременно с помощью алгоритма QR. Предусматривается по два варианта методов Гивенса и Хаусхолдера: GIV, MGIV, HOU и MHOU. Эти методы более эффективны, если необходимо определить большое количество собственных значений. Метод Ланцоша (рекомендуемый метод) Этот метод является комбинированным (tracking-transformation) методом.

NAS102 Декабрь 2001, Стр MSC Moscow MSC Moscow Теория метода Штурма q Выбирается. q Преобразуется. q Количество отрицательных членов на факторной диагонали равно количеству собственных значений с величиной, меньшей.в

NAS102 Декабрь 2001, Стр MSC Moscow MSC Moscow Метод Ланцоша q Метод Ланцоша с использованием блоков, смещений (shifts), инверсий q Случайные исходные (начальные) векторы q Автоматическая логика смещений q Частичная и выборочная ортогонализация q Применение метода Штурма q Применение метода Гивенса и алгоритма QL q Возможность использования для модального анализа и анализа устойчивости q Нормализация только по массе и наибольшему компоненту qВ отличие от метода GDR (см. Приложение A), нет необходимости в скалярных переменных (точках) типа QSET, ASET и т.п., (если только не выполняется анализ методом модального синтеза)

NAS102 Декабрь 2001, Стр MSC Moscow MSC Moscow Интерфейс пользователя для метода Ланцоша

NAS102 Декабрь 2001, Стр MSC Moscow MSC Moscow Интерфейс пользователя для других методов

NAS102 Декабрь 2001, Стр MSC Moscow MSC Moscow Интерфейс пользователя

NAS102 Декабрь 2001, Стр MSC Moscow MSC Moscow Управление решением при анализе собственных колебаний qExecutive Control Section äSOL 103 qCase Control Section äMETHOD (инициализация оператора EIGRL) qBulk Data Section äEIGRL (метод Ланцоша)

NAS102 Декабрь 2001, Стр MSC Moscow MSC Moscow Виды вычисляемых величин q Для узлов GRID äDISPLACEMENT (или VECTOR) äGPFORCE äGPSTRESS äSPCFORCE äGPKE q Для элементов äELSTRESS (или STRESS) äESE äEKE äELFORCE (или FORCE) äSTRAIN q Специальный оператор äMODES – результаты для каждой моды выводятся как результаты для отдельного случая расчета

NAS102 Декабрь 2001, Стр MSC Moscow MSC Moscow Пример 1 Модальный анализ плоской пластины

NAS102 Декабрь 2001, Стр MSC Moscow MSC Moscow Пример 1. Модальный анализ плоской пластины Используя метод Ланцоша, найти первые десять собственных частот и форм колебаний плоской прямоугольной пластины. Ниже представлена конечно-элементная модель прямоугольной пластины, включающая также граничные условия. Таблица 3А содержит необходимые данные для создания входного файла. Координаты узлов Grid и топология элементов

NAS102 Декабрь 2001, Стр MSC Moscow MSC Moscow Пример 1. Модальный анализ плоской пластины Граничные условия

NAS102 Декабрь 2001, Стр MSC Moscow MSC Moscow Геометрия пластины

NAS102 Декабрь 2001, Стр MSC Moscow MSC Moscow Геометрия пластины

NAS102 Декабрь 2001, Стр MSC Moscow MSC Moscow Геометрия пластины

NAS102 Декабрь 2001, Стр MSC Moscow MSC Moscow Входной файл для Примера 1

NAS102 Декабрь 2001, Стр MSC Moscow MSC Moscow Результаты решения Примера 1 *** SYSTEM INFORMATION MESSAGE 6916 (DFMSYN) DECOMP ORDERING METHOD CHOSEN: DEFAULT, ORDERING METHOD USED: MMD *** USER INFORMATION MESSAGE 5010 (LNCILD) STURM SEQUENCE DATA FOR EIGENVALUE EXTRACTION. TRIAL EIGENVALUE = D+07, CYCLES = D+03 NUMBER OF EIGENVALUES BELOW THIS VALUE = 3 *** USER INFORMATION MESSAGE 5010 (LNCILD) STURM SEQUENCE DATA FOR EIGENVALUE EXTRACTION. TRIAL EIGENVALUE = D+09, CYCLES = D+03 NUMBER OF EIGENVALUES BELOW THIS VALUE = 10 TABLE OF SHIFTS: (LNNRIGL) SHIFT # SHIFT VALUE FREQUENCY, CYCLES # EIGENVALUES BELOW # NEW EIGENVALUES FOUND E E E E NORMAL MODES EXAMPLE APRIL 8, 1998 MSC.Nastran 4/6/98 PAGE 6 0 SUBCASE 1 0 E I G E N V A L U E A N A L Y S I S S U M M A R Y (READ MODULE) BLOCK SIZE USED NUMBER OF DECOMPOSITIONS NUMBER OF ROOTS FOUND NUMBER OF SOLVES REQUIRED NORMAL MODES EXAMPLE APRIL 8, 1998 MSC.Nastran 4/6/98 PAGE 7 0 SUBCASE 1 R E A L E I G E N V A L U E S MODE EXTRACTION EIGENVALUE RADIANS CYCLES GENERALIZED GENERALIZED NO. ORDER MASS STIFFNESS E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E+09

NAS102 Декабрь 2001, Стр MSC Moscow MSC Moscow Результаты решения Примера 1 1 NORMAL MODES EXAMPLE APRIL 8, 1998 MSC.Nastran 4/6/98 PAGE 8 0 SUBCASE 1 1 NORMAL MODES EXAMPLE APRIL 8, 1998 MSC.Nastran 4/6/98 PAGE 9 USING LANCZOS 0 SUBCASE 1 EIGENVALUE = E+05 CYCLES = E+02 R E A L E I G E N V E C T O R N O. 1 POINT ID. TYPE T1 T2 T3 R1 R2 R3 1 G G E E E E E G E E E E E G E E E E E G E E E E E G E E E E E G E E E E E EIGENVALUE = E+07 CYCLES = E+02 R E A L E I G E N V E C T O R N O. 2 POINT ID. TYPE T1 T2 T3 R1 R2 R3 1 G G E E E E E G E E E E E G E E E E E G E E E E E G E E E E E G E E E E E G E E E E E G E E E E E G E E E E E+00.0

NAS102 Декабрь 2001, Стр MSC Moscow MSC Moscow