З АДАЧИ НА ДЕЛИМОСТЬ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ (по материалам ЕГЭ) Кретова Д.Н. МОУ «Лицей 47» г.Саратов

Для решения используем формулу нахождения числа (количества) делителей какого-либо числа : где y - количество делителей - показатель степени в разложении на простые множители -

4) Заменим 42 на его разложение на простые множители: 5) Т.к. 42 раскладывается на 3 простых множителя, значит k = 3 5) Т.к. левая и правая части состоят из произведения одинакового числа простых множителей, тогда сами множители равны с точностью до порядка.

6) Найдем показатели степеней в разложении числа A:

7) Решив системы, получим, что

З АДАЧА 2. З АДАЧА 2. Н АЙДУТСЯ ЛИ ХОТЯ БЫ ТРИ ДЕСЯТИЗНАЧНЫХ ЧИСЛА, ДЕЛЯЩИЕСЯ НА 11, В ЗАПИСИ КАЖДОГО ИЗ КОТОРЫХ ИСПОЛЬЗОВАНЫ ВСЕ ЦИФРЫ ОТ 0 ДО 9? Н АЙДУТСЯ ЛИ ХОТЯ БЫ ТРИ ДЕСЯТИЗНАЧНЫХ ЧИСЛА, ДЕЛЯЩИЕСЯ НА 11, В ЗАПИСИ КАЖДОГО ИЗ КОТОРЫХ ИСПОЛЬЗОВАНЫ ВСЕ ЦИФРЫ ОТ 0 ДО 9?

Р ЕШЕНИЕ Число делится на 11 тогда и только тогда, когда разность между суммами его цифр, стоящих на нечётных и на чётных местах, делится на 11.

1) Запишем все цифры подряд: В написанном числе указанная разность сумм равна =25, =20, 25-20=5 2) Меняя местами, например, 5 и 8, мы одну сумму увеличиваем на 3, а другую уменьшаем на 3. Значит, разность между суммами его цифр, стоящих на нечётных и на чётных местах, становится равной 11. Меняя местами, например, 4 и 1, или 3 и 6, получаем требуемые примеры. Ответ: Да.

З АДАЧА 3. З АДАЧА 3. Н АТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА УДОВЛЕТВОРЯЮТ УСЛОВИЮ AB = CD. М ОЖЕТ ЛИ ЧИСЛО A + B + C + D БЫТЬ ПРОСТЫМ ? Н АТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА УДОВЛЕТВОРЯЮТ УСЛОВИЮ AB = CD. М ОЖЕТ ЛИ ЧИСЛО A + B + C + D БЫТЬ ПРОСТЫМ ?

Решение. Выразим переменную а через остальные переменные из равенства :. Подставим этот результат в выражение

Заметим, что последняя дробь является целым числом (т.к. исходно мы преобразовали целое число a+b+c+d). Следовательно, числитель должен нацело делиться на знаменатель, или, иначе говоря, данную дробь можно сократить так, чтобы в знаменателе осталась единица. При сокращении этой дроби, часть делителей числа b (имеются в виду делители, присутствующие в каноническом представлении числа b) сократится с первой скобкой, оставшаяся часть – со второй. Предположим, что после сокращения от первой скобки осталось натуральное число m от второй натуральное число n.

В этом случае можно утверждать, что (, аналогично – c n). Следовательно, число a+b+c+d=mn, где m, n> 1. Значит, это число не простое. Ответ: это число не может быть простым.

З АДАЧА 4. З АДАЧА 4. Н АЙДИТЕ ВСЕ ПАРЫ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ, НАИМЕНЬШЕЕ ОБЩЕЕ КРАТНОЕ КОТОРЫХ РАВНО 78, А НАИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ РАВЕН 13. Н АЙДИТЕ ВСЕ ПАРЫ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ, НАИМЕНЬШЕЕ ОБЩЕЕ КРАТНОЕ КОТОРЫХ РАВНО 78, А НАИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ РАВЕН 13.

Решение. 1. Пусть a и b натуральные числа, тогда по свойству НОК(a,b)НОД(а,b)=аb имеем 1378=ab. 2. Разложим левую часть равенства на простые множители =аb 3. Подбором находим искомые пары чисел a=133=39 b=132=26 или a=1332=78 b=13 Ответ: 39 и 26, 78 и 13.

З АДАЧА 5. З АДАЧА 5. Н АЙДИТЕ ВСЕ НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА, ПОСЛЕДНЯЯ ДЕСЯТИЧНАЯ ЦИФРА КОТОРЫХ 0 И КОТОРЫЕ ИМЕЮТ РОВНО 15 РАЗЛИЧНЫХ НАТУРАЛЬНЫХ ДЕЛИТЕЛЕЙ ( ВКЛЮЧАЯ ЕДИНИЦУ И САМО ЧИСЛО ). Н АЙДИТЕ ВСЕ НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА, ПОСЛЕДНЯЯ ДЕСЯТИЧНАЯ ЦИФРА КОТОРЫХ 0 И КОТОРЫЕ ИМЕЮТ РОВНО 15 РАЗЛИЧНЫХ НАТУРАЛЬНЫХ ДЕЛИТЕЛЕЙ ( ВКЛЮЧАЯ ЕДИНИЦУ И САМО ЧИСЛО ).

Решение 1. Пусть p натуральное число, удовлетворяющие условию задачи. Если натуральное число p имеет 15 различных делителей и кол-во делителей определяется по формуле p=(m+1)(n+1), где m, n кратности простых делителей.

2. По условию задачи должны быть по меньшей мере 2 простых делителя – 2 и =( m +1)( n +1); m =2, n =4 (единственное решение без привязки к конкретным множителям). Существуют 2 числа и Ответ: 2500; 400

З АДАЧА 6. З АДАЧА 6. Н АЙДИТЕ ВСЕ ПАРЫ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ, РАЗНОСТЬ КВАДРАТОВ КОТОРЫХ РАВНА 55. Н АЙДИТЕ ВСЕ ПАРЫ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ, РАЗНОСТЬ КВАДРАТОВ КОТОРЫХ РАВНА 55.

Решение Пусть m и n натуральные числа и, тогда ( m - n )( m + n )=511 или ( m - n )( m + n )=551. Рассмотрим системы: 1) 3) 2) 4) 2 из 4 систем не имеют решения в натуральных числах, следовательно m =8, n =3 и m =28, n =27. Ответ: m =8, n =3 и m =28, n =27.