Теорема. Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника. Обратное утверждение: «Если отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, делит данный треугольник на два равновеликих треугольника, то этот отрезок является его медианой». Докажем, к примеру, обратное утверждение.

Доказательство I способ. Пусть ВМ – данный отрезок и S ABM = S BMC. Проведем высоту ВН треугольника. Тогда 2S ABM = AMВH и 2S BMC = MCBH. Ясно, что AMBH = MCBH и АМ=МС. Следовательно, отрезок ВМ – медиана данного треугольника. H A B C M

II способ. 1. Пусть ВМ – данный отрезок и S ABM = S BMC. Отрезки AP и СQ – высоты треугольников АВМ и ВМС, проведенные к одной и той же стороне. 2. Так как S ABM = S BMC, то AP BM = CQ BM, откуда AP = CQ. 3. AMP = CMQ (по катету и острому углу).AM = CM. Следовательно, отрезок ВМ – медиана данного треугольника. A B C Q P M

Решим задачу. Пусть точка К – произвольная точка медианы BM треугольника ABC. Докажите, что S ABK +S MKC = S BKC + S AKM. Доказательство. KM - медиана треугольника AKC, поэтому S AKM = S MKC (1). A B C К M

BM - медиана треугольника ABC, следовательно, S ABM = S BMC (2). Вычтем почленноее из равенства (2) равенство (1) S AKM = S MKC : S ABM – S AКM = S BMC – S MKC. Получаем, что S ABK = S BKC.(3) A B C К M

Перепишем равенство (1) в виде: S MKC = S AKM и, сложив его почленноее с равенством (3) S ABK = S BKC, получим требуемое: S ABK +S MKC = S BKC + S AKM. A B C К M

Теперь докажем два утверждения. 1)Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 2 : 1, считая от вершин, из которых они проведены. 2)Медианы треугольника, пересекаясь, делят его на шесть равновеликих треугольников.

Пусть AM и BN - медианы треугольника ABC, пересекающиеся в точке О.Через точку O проведем отрезок CP с концом P на стороне AB.Так как точка O лежит на медиане ON треугольника ABC, то S AON =S ONC =S 1. A B C M N O P

Так как точка О лежит на медиане ОМ треугольника ВОС, то S BOM = S OMC = S 2. Так как О – точка медианы BN, то S AOB = S BOC = 2S 2. Ввиду того, что О – точка медианы АМ, S AOB = S АOC,то есть 2S 2 = 2S 1 и S 2 = S 1. A B C M N O S1S1 P S2S2 S2S2 S1S1

Значит, S AOC = S BOC, то есть отрезок CP - медиана треугольника ABC, следовательно, A B C M N O Р S1S1 S1S1 S1S1 S1S1 2S1 медианы треугольника пересекаются в одной точке. Треугольники BOC и CON имеют общую высоту, проведенную к сторонам BO и ON соответственно и S BOC : S CON = 2 : 1.

Итак, BO : ON = 2 : 1. Тем самым доказано, что медианы точкой пересечения делятся в отношении 2 : 1, считая от вершин, из которых они проведены. OP – медиана треугольника АОВ, поэтому S AOP =S BOP =S 1. Следовательно, все шесть треугольников равновелики. A B C M N O Р S1S1 S1S1 S1S1 S1S1 2S1