Анатоль Франс Учиться можно только весело… Чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом.

Тригонометрические уравнения вида cost =а, sint =a.

Исторические сведения о развитии тригонометрии.

В школе с тригонометрическим материалом впервые мы знакомимся в курсе планиметрии. С помощью тригонометрии решали плоские треугольники. Тригонометрические соотношения получили названия «синус», «тангенс» и т.д., а их значения были уже вычисленными и сведенными в таблицы.

Тригонометрические соотношения определяются теперь с помощью окружности (её обычно называют производящей окружностью), а не прямоугольного треугольника. Хотя они по-прежнему определяются как функции углов, но эти углы уже произвольно велики, их меры выражаются в радианах. Иначе выглядит и тригонометрические тождества, и постановка задач, и трактовка их решений. Вводится графики тригонометрических функций. Наконец, появляются тригонометрические уравнения. И весь этот материал представлен перед нами, учащимися, уже как часть алгебры, а не геометрии, как прежде.

Затем тригонометрия появляется в системе начал математического анализа. Здесь речь идет о классе аналитических функций, называемых тригонометрическими, об их структуре, свойствах и приложениях. Их специфические свойства (периодичность, четность или нечетность и др.) позволяют с помощью формул приведения и иных формул тригонометрии и существенно упрощать аналитический аппарат выражений, связанных с этими функциями, и значительно облегчают операцию с ними.

История становления тригонометрии Хотя название науки возникло сравнительно недавно, многие относимые сейчас к тригонометрии понятия и факты были известны ещё две тысячи лет назад.

Гиппархом Клавдием Птолемеем Впервые способы решения треугольников, основанные на зависимостях между сторонами и углами треугольника, были найдены древнегреческими астрономами Гиппархом (2 в. до н. э.) и Клавдием Птолемеем (2 в. н. э.). Позднее зависимости между отношениями сторон треугольника и его углами начали называть тригонометрическими функциями.

Значительный вклад в развитие тригонометрии внесли арабские ученые Аль-Батани ( ) и Абу-ль-Вафа, Мухамед-бен Мухамед ( ), который составил таблицы синусов и тангенсов через 10 с точностью до 1/604. сферическую тригонометрию Теорему синусов уже знали индийский ученый Бхаскара (р. 1114, год смерти неизвестен) и азербайджанский астроном и математик Насиреддин Туси Мухамед ( ). Кроме того, Насиреддин Туси в своей работе «Трактат о полном четырехстороннике» изложил плоскую и сферическую тригонометрию как самостоятельную дисциплину.

геометрический Долгое время тригонометрия носила чисто геометрический характер, т. е. факты, которые мы сейчас формулируем в терминах тригонометрических функций, формулировались и доказывались с помощью геометрических понятий и утверждений. Такою она была еще в средние века, хотя иногда в ней использовались и аналитические методы, особенно после появления логарифмов. Начиная с XVII в., тригонометрические функции начали применять к решению уравнений, задач механики, оптики, электричества, радиотехники, для описания колебательных процессов, распространения волн, движения различных механизмов, для изучения переменного электрического тока и т. д. Поэтому тригонометрические функции всесторонне и глубоко исследовались, и приобрели важное значение для всей математики.

Леонардом Эйлером Аналитическая теория тригонометрических функций в основном была создана выдающимся математиком XVIII веке Леонардом Эйлером ( ) членом Петербургской Академии наук. Громадное научное наследие Эйлера включает блестящие результаты, относящиеся к математическому анализу, геометрии, теории чисел, механике и другим приложениям математики. Именно Эйлер первым ввел известные определения тригонометрических функций, стал рассматривать функции произвольного угла, получил формулы приведения.

После Эйлера тригонометрия приобрела форму исчисления: различные факты стали доказываться путем формального применения формул тригонометрии, доказательства стали намного компактнее проще, Таким образом, тригонометрия, возникшая как наука о решении треугольников, со временем развилась и в науку о тригонометрических функциях.

Синус sin Длительную историю имеет понятие синус. Фактически различные отношения отрезков треугольника и окружности (а по существу, и тригонометрические функции) встречаются уже в III веке до н.э. в работах великих математиков Древней Греции – Евклида, Архимеда, Апполония Пергского. В римский период эти отношения достаточно систематично исследовались Менелаем (I век н.э.), хотя и не приобрели специального названия. Современный синус, например, изучался как полухорда, на которую опирается центральный угол, или как хорда удвоенной дуги. В IV-V веках появился уже специальный термин в трудах по астрономии великого индийского учёного Ариабхаты, именем которого назван первый индийский спутник Земли. Отрезок АМ он назвал ардхаджива (ардха – половина, джива – тетива лука, которую напоминает хорда). Позднее появилось более краткое название джива. Арабскими математиками в IX веке это слово было заменено на арабское слово джайв (выпуклость). При переводе арабских математических текстов в веке оно было заменено латинским синус (sinus – изгиб, кривизна).

y = sin x, D(y) = R, E(y) = [-1;1]

Косинус cos Слово косинус намного моложе. Косинус – это сокращение латинского выражения completely sinus, т. е. дополнительный синус (или иначе синус дополнительной дуги). y = cos x, D (y) = R, E(y) = [-1;1]

Значение обратных тригонометрических функций arccos = arcsin (-1) = arccos 0 = arccos 1 = arccos = arcsin = arcsin = о

а 0 1 arcsin a arccos a о о П

Установите соответствие: sin x = 0 sin x = - 1 sin x = 1 cos x = 1 cos x = 0 cos x =

Установите соответствие: sin x = 0 sin x = - 1 sin x = 1 cos x = 1 cos x = 0 cos x =

Вариант 1. Вариант Каково будет решение уравнения cos x = a при а > 1 1. Каково будет решение уравнения sin x = a при а > 1 2. При каком значении а уравнение cos x = a имеет решение? 2. При каком значении а уравнение sin x = a имеет решение? 3. Какой формулой выражается это решение? 3. Какой формулой выражается это решение? 4. На какой оси откладывается значение а при решении уравнения cos x = a ? 4. На какой оси откладывается значение а при решении уравнения sin x = a ? 5. В каком промежутке находится arccos a ? 6. Чему равняется arccos ( - a)? 5. В каком промежутке находится arcsin a ? 6. Чему равняется arcsin ( - a)?

Вариант 1. Вариант Нет решения На оси Ох На оси Оу 5. 6.

Методы решения тригонометрических уравнений. Уравнения, сводимые к алгебраическим.

Методы решения тригонометрических уравнений. Разложение на множители

Методы решения тригонометрических уравнений.

«3» «4», «5» 322 (б) 321 (в) 355 (в)

356 (г)

Домашнее задание: «3»321 (а,в), 355 (в), 356 (в) «4», «5» 359(а), 360 (а,г), 364 (а)