«Начертательная геометрия» Выполнила: ученица 11 «А» класса Клименко Екатерина Учитель: Кашина О. Л. МБОУ «Гимназия 83» Г. Ижевск

Две основные задачи Н.Г.: Предмет «Начертательная геометрия» (Н.Г.) Н.Г. изучает законы отображения трехмерного пространства на двумерную плоскость методами проекций и сечений. Основоположником начертательной геометрии и метода ортогонального проецирования является французский математик, геометр Гаспар Монж ( гг.). прямая - построить изображение пространственного предмета на чертеже; обратная обратная – реконструкция пространственного предмета по чертежу. проецирования. Построение любого изображения выполняется с помощью операции проецирования.

Виды проецирования Линейное центральное проецирование S - центр проецирования, П I - плоскость проекций или картинная плоскость, А, В - точки пространства, SА, SВ – проецирующий луч, а, в - направление проецирования, А י, В י – центральные проекции точек А и В на плоскость П י. Аппарат проецирования Проекцией фигуры называется множество проекций всех ее точек Нет закономерных отношений между линейными размерами геометрического образа (Г.О.) и его проекциями.

Виды проецирования Параллельное проецирование а - направление проецирования П י - плоскость проекций А, В - точки пространства А י, В י – проекции точек А и В на плоскость П י. Аппарат проецирования Проекцией фигуры называется множество проекций всех ее точек Нет закономерных отношений между линейными размерами геометрического образа (Г.О.) и его проекциями.

Виды проецирования Ортогональное проецирование а - направление проецирования, а П י, П י - плоскость проекций, А, В - точки пространства, А י, В י – ортогональные проекции точек А и В на плоскость П י. Проекцией фигуры называется множество проекций всех ее точек Аппарат проецирования Существуют определенные закономерности между геометрическим образом (Г.О.) и его ортогональной проекцией: позиционные и метрические свойства ортогонального проецирования.

Основные позиционные свойства ортогонального проецирования: каждой точке проецируемого Г.О. соответствует одна точка на плоскости проекций, А А י ; 1. (обратная зависимость неоднозначна);

Основные позиционные свойства ортогонального проецирования: проекцией прямой линии АВ является прямая линия Аי Вי, Аי Вי, АВ А י В י ; АВА י В י – проецирующая плоскость L); 2.

Основные позиционные свойства ортогонального проецирования: если точка принадлежит линии, то ее проекция принадлежит проекции данной линии, С АВ С י А י В י ; 3.

Основные позиционные свойства ортогонального проецирования: проекцией точки пересечения двух прямых является точка пересечения проекций данных прямых; D = АВ х е D י = А י В י х e י ; 4.

Основные позиционные свойства ортогонального проецирования: проекциями двух параллельных прямых являются две параллельные прямые, а II AB а י II А י В י ; 5.

Метрические свойства ортогонального проецирования: Отношения между отрезками прямой равны соответствующим отношениям между их проекциями. |АС| : |СВ|= |А י С י | : |С י В י | |АС| : |АВ|= |А י С י | : |А י В י | и т.д. 1.

Метрические свойства ортогонального проецирования: Длина отрезка равна длине его проекции, делённой на косинус угла наклона отрезка к плоскости проекций. |АС| : |АВ| = cos a или |АВ| = |А י В י | : cos a, т. к. |А י В י | = |АС|. 2. Примечания: если α = 0 о, то АВ=А י В י ; если α = 90 о, то А י В י = 0. Отрезок АВ (натуральная величина) является гипотенузой прямоугольного треугольника АВС, один катет которого является проекцией этого отрезка, а второй приращением координат точек А и В.

Метрические свойства ортогонального проецирования: Если хотя бы одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, а вторая ей не перпендикулярна, то угол на эту плоскость проецируется в натуральную величину. 3. Если прямой угол проецируется ортогонально в виде прямого угла, то он имеет сторону, расположенную параллельно плоскости проекций. Теорема о проецировании прямого угла: Обратная теорема:

Обратимость чертежа (введение второй плоскости проекции или числовой отметки, указывающей расстояние от точки в пространстве до плоскости проекций). Проекционный чертеж становится обратимым при добавлении дополнительной информации (введение второй плоскости проекции или числовой отметки, указывающей расстояние от точки в пространстве до плоскости проекций). однокартинными. Вышеприведенные чертежи называются однокартинными. Рассмотренные методы проецирования позволяют однозначно решить прямую задачу – построить проекцию (чертеж) геометрического образа. Обратная задача начертательной геометрии – по данному чертежу реконструировать геометрический образ – решается неоднозначно (может быть несколько или бесчисленное множество решений). одно картинный чертеж не обладает свойством обратимости. Из этого следует, что одно картинный чертеж не обладает свойством обратимости.

Образование комплексного чертежа точки. ортогональных проекций Комплексным чертежом называется чертеж, составленный из двух или более связанных между собой ортогональных проекций изображаемого геометрического образа. Принцип образования: геометрический образ ортогонально проецируется минимум на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций, которые затем соответствующим образом совмещаются с одной плоскостью. комплексным чертежом ( Данный чертеж называется комплексным чертежом (К.Ч.) точки А. точка однозначно задана на К.Ч. Если на К.Ч. заданы две проекции точки, можно утверждать, что точка однозначно задана на К.Ч.

Образование комплексного чертежа точки. Иногда проецирование осуществляется на три взаимно перпендикулярных плоскости проекций, и тогда они все совмещаются с одной. Условные обозначения: A,В,С,D… 1,2,3… и т.д. – точки в пространстве; П 1 (XOY) – горизонтальная плоскость проекции; П 2 (XOZ) – вертикальная (фронтальная) плоскость проекции; П 3 (YOZ) – вертикальная (профильная) плоскость проекции; А 1 – горизонтальная проекция точки А на плоскость П 1 ; А 2 – фронтальная проекция точки А на плоскость П 2. А 3 – профильная проекция точки А на плоскость П 3. А 1 А 2, А 2 А 3 - линии связи.

Образование комплексного чертежа линии. Линия - это геометрический образ, сформированный последовательным перемещением точки. Прямая однозначно задана на комплексном чертеже, если заданы две ее проекции. Линия – одномерный геометрический образ. Обозначение линий – a, b, c, d … и т.д.

Взаимное расположение двух прямых. Параллельные прямые. Если две прямые параллельны между собой, то их одноименные проекции тоже параллельны. Если a b, то a 1 b 1 и a 2 b 2.

Взаимное расположение двух прямых. Пересекающиеся прямые. Две прямые пересекаются между собой, если точки пересечения одноименных проекций прямых лежат на одной линии связи. Если a Х b = О, то a 1 Х b 1 =О 1 и a 2 Х b 2 = О 2

Взаимное расположение двух прямых. Скрещивающиеся прямые (не имеют общих точек). Две прямые скрещиваются между собой, если точки пересечения их одноименных проекций лежат на разных линиях связи а ÷ b Точки 1 и 2, 3 и 4 – конкурирующие точки. Конкурирующие точки – Точки, лежащие на одной Проецирующей прямой.

Положение прямых линий относительно плоскостей проекций. В зависимости от своего положения относительно плоскостей проекций прямые разделяют на прямые общего положения и прямые частного положения. Прямая общего положения – прямая, которая имеет углы, отличные от 0° и 90° одновременно со всеми тремя плоскостями проекции (П 1, П 2 и П 3 ). Прямые, параллельные плоскостям проекций или перпендикулярные к ним, называются прямыми частного положения.

Прямые частного положения. Линии уровня. Горизонталь Горизонталь – линия, все точки которой имеют одинаковую координату Z (аппликата). Горизонталь параллельна горизонтальной плоскости проекций. Обозначение горизонтали h (h П 1 ). На П 2 : Z– const (для всех точек линии). На П 1 : h 1 =h, h 1 - натуральная величина прямой h. α - угол наклона прямой h к плоскости П 2, γ - угол наклона прямой h к плоскости П 3.

Прямые частного положения. Линии уровня. Фронталь Фронталь – линия, все точки которой имеют одинаковую координату Y (ордината). Фронталь параллельна фронтальной плоскости проекций. Обозначение фронтали f (f П 2 ). На П 1 : Y – const (для всех точек прямой) На П 2 : f 2 = f, f 2 - натуральная величина отрезка f. β - угол наклона прямой f к плоскости П 1, γ - угол наклона прямой f к плоскости П 3.

Прямые частного положения. Линии уровня. Профильная линия – линия, все точки которой имеют одинаковую координату X (абсцисса) Профильная линия параллельна профильной плоскости проекций. Обозначим профильную линию буквой n (n П 3 ). На П 1 и П 2 проекции профильной прямой n совпадают с линией связи. Для описания профильной линии (прямой) на комплексном чертеже необходимо вводить профильную плоскость проекций П 3. На П 3 : n 3 = n, n 3 - натуральная величина отрезка f. α - угол наклона прямой n к плоскости П 1, β - угол наклона прямой n к плоскости П 2.

Прямые частного паоложения. Проецирующие прямые. Горизонтально-проецирующая прямая Горизонтально-проецирующая прямая – линия, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций. Горизонтально-проецирующая прямая параллельна фронтальной и профильной плоскостям проекций. Обозначим горизонтально- проецирующую прямую a (a П 1 ). На П 1 горизонтально- проецирующая прямая проецируется в точку (теряет одно измерение). На П 2 : а 2 = а, а 2 – натуральная величина.

Прямые частного положения. Проецирующие прямые. Фронтально-проецирующая прямая Фронтально-проецирующая прямая – линия, перпендикулярная фронтальной плоскости проекций Фронтально-проецирующая прямая параллельна горизонтальной и профильной плоскости проекций. Обозначим фронтально- проецирующую прямую b (b П 1 ). На П 2 фронтально-проецирующая прямая проецируется в точку (теряет одно измерение). На П 1 : b 1 = b, b 1 – натуральная величина.