Построение сечения куба, нахождение его координат и площади Ларионова Н.Е. учитель математики МАОУ ЛМИ г. Саратов

Задача 1 Построить сечение куба, проходящего через точки P, Q, R, найти координаты точек сечения и площадь сечения, если P-середина BB 1, Q-середина B 1 C 1, R=D.

BC D C¹C¹B¹B¹ A A¹A¹ D¹D¹ Q P Куб ABCDA¹B¹C¹D¹ P – середина BB¹ Q – середина B¹C¹ R = D Построить сечение куба, проходящего через точки P, Q, R, найти координаты точек сечения и площадь сечения. AB = AA¹ = AD = = R

Рассмотрим заднюю плоскость BB¹CC¹ B B¹ C C¹ P Q A²A² C²C² BB¹ = B¹C¹ = 6 (по условию) B¹P = PB = 3 (P середина BB¹) B¹Q = QC¹ = 3 (Q середина B¹C) Продлим BC и CC¹.Соединим точки P и Q. PQ BC = A² PQ CC¹ = C² Рассмотрим B¹PQ.B¹PQ = B¹QP = 45˚ (т.к. B¹PQ – равнобедренный (B¹P = B¹Q)) Рассмотрим B¹PQ и C¹QC² B¹PQ = C¹QC² (по 2-ум сторонам и углу между ними) => C¹C² = B¹P = 3 Решение

Рассмотрим боковую плоскость DD¹CC¹ D = R D¹ C C¹ C² F DC = CC¹ = 6 (по условию). Продлим СC¹, так чтобы C¹C² = 3 Пусть FC¹ = x Рассмотрим DC²C и FC²C¹ DC²C ~ FC²C¹ (по 2-ум сторонам и углу между ними) Решение x x = 2 FC¹ = 2, a FD¹ = 4

Рассмотрим нижнюю плоскость ABCD A BC E D A²A² 6 63 y Решение BC = CD = 6 (по условию) Продлим СB, так чтобы A²B = 3 Пусть BE = y Рассмотрим A²BE и A²CD A²BE ~ A²CD (по 2-ум сторонам и углу между ними) BE = 2, а AE = 4

Q P D = R A A¹A¹ B¹B¹ C¹C¹ C D¹D¹ B F E A²A² C²C² Q F R E P Сечение куба (PQFRE) Сечение куба, проходящей через точки P, Q, R

Q P D = R A A¹A¹ B¹B¹ C¹C¹ C D¹D¹ B F E Координаты точек сечения куба x y z P (0, 0, 3) Q (0, 3, 6 ) F (2, 6, 6 ) R (6, 6, 0 ) E (2, 0, 0 ) xyz Отметим оси координат x, y, z

Нахождение площади сечения куба Q P E F R Разобьём плоскость сечения куба на три треугольника, чтобы подсчитать площадь всего сечения куба.

S EPR = Рассмотрим EPR E (2, 0, 0 ) Q (0, 3, 6 ) R (6, 6, 0 ) S EPR = Q F P E R

Рассмотрим QPR S QPR = P (0, 0, 3) Q (0, 3, 6 ) R (6, 6, 0 ) S QPR = Q E R F P

Рассмотрим FQR F (2, 6, 6 ) Q (0, 3, 6 ) R (6, 6, 0 ) S FQR = Q P F E R

Q P E F R Нахождение площади сечения куба QPR + + QPR+ FQR + ++= = =

Q F R E P Сечение куба (PQFRE) P (0, 0, 3) Q (0, 3, 6 ) F (2, 6, 6 ) R (6, 6, 0 ) E (2, 0, 0 ) Координаты точек сечения куба Площадь сечения куба

Задача 2 Построить сечение куба, проходящего через точки P, Q, R, найти координаты точек сечения и площадь сечения, если P-середина AA 1, Q-середина A 1 B 1, R- серединаAD.

BC D C¹C¹B¹B¹ A A¹A¹ D¹D¹ Q P Куб ABCDA¹B¹C¹D¹ P – середина АА¹ Q – середина А¹В¹ R – середина АD Построить сечение куба, проходящего через точки P, Q, R, найти координаты точек сечения и площадь сечения. AB = AA¹ = AD = 6 6 R

BC D C¹C¹B¹B¹ A A¹A¹ D¹D¹ Q P 6 R Координаты точек: Р(6;0;3) Q(3;0;6) H(0;3;6) K(0;6;3) F(3;6;0) R(6;3;0) S PQHKFR = H K F

Задача 3 Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки P, Q, R, найти координаты точек сечения, если P принадлежит AA 1, AP=2, Q принадлежит A 1 D 1, D 1 Q=2, R=B.

B C D C¹C¹B¹B¹ A A¹A¹ D¹D¹ Q P 6 R Координаты точек: Р(6;0;2) Q(6;4;6) R(0;0;0) C 1 (0;6;6)

Задача 4 Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки P, Q, R, найти координаты точек сечения, если P принадлежит AA 1, AP=2, Q –середина B 1 C 1, R принадлежит DD 1, D 1 R=2.

B C D C¹C¹B¹B¹ A A¹A¹ D¹D¹ Q P 6 R Координаты точек: Q(0;3;6) K(0;0;5) Р(6;0;2) R(6;6;4) M(2;6;6) K M

Задача 4 Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки P, Q, R, найти координаты точек сечения и площадь сечения, если P принадлежит BB 1, BP=2, Q –середина CC 1, C 1 Q=2, R принадлежит DD 1, D 1 R=2.

BC D C¹C¹B¹B¹ A A¹A¹ D¹D¹ Q M 6 R Координаты точек: Р(0;0;2) Q(0;6;4) R(6;6;4) M(6;0;2) S PQRM = P

Задачи для самостоятельного решения: Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки P, Q, R, найти координаты точек сечения и площадь сечения, если: 1. P принадлежит CC 1,C 1 P=2, Q- середина AD,R-середина A 1 B P принадлежит CC 1,C 1 P=1, Q- середина AD,R-середина AA 1.

3. P принадлежит DD 1,D 1 P=1, Q- середина AD,R-середина AB. 4. P принадлежит AA 1, A 1 P=1, Q- середина D 1 D, R принадлежит CC 1, CR=1. 5. P принадлежит BB 1,BP=2, Q- середина C 1 D 1,R-середина AA 1.