Лекция 14 РАСЧЕТ СООРУЖЕНИЙ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Современная вычислительная техника позволяет проводить расчеты сооружений с более подробным описанием их внутренней структуры и с более точным учетом действующих нагрузок. Для этого разработаны специальные методы расчета, среди которых наибольшее распространение получил метод конечных элементов (МКЭ). 1. Понятие о методе конечных элементов Метод конечных элементов – это метод расчета сооружений, основанный на рассмотрении сооружения как совокупности типовых элементов, называемых конечными элементами (КЭ). В дискретном методе мы рассмотрели три типа стержневых элемента, которые используются и в МКЭ как конечные элементы.

Например, элемент 3-его типа в МКЭ называются ферменным КЭ, а 1-го типа – плоским стержневым КЭ. При расчете пространственных рам используется КЭ бруса. В расчетах плоских тел используются треугольный или четырехугольный КЭ. При расчете пространственных сооружений могут использоваться КЭ призмы или КЭ тетраэдра и др. Для расчета разных сооружений разработано множество других КЭ. ферменный КЭстержневой КЭ КЭ бруса треугольный КЭчетырехугольный КЭ призменный КЭ тетраэдральный КЭ

МКЭ – дискретный метод. В этом методе сооружение делится на определенное число КЭ, соединяемых между собой в узлах конечно-элементной модели. А нагрузка, действующая на сооружение, переносится в узлы. Это позволяет определять НДС сооружения через узловые усилия и перемещения конечно-элементной модели. В пределах одной и той же расчетной схемы сооружения можно выбирать разные расчетные модели по МКЭ, т.к. можно: разбить ее на разное количество однотипных КЭ; представить ее как комбинацию различных типов КЭ; реализовать различные варианты МКЭ в формах метода сил, метода перемещений и смешанного метода. В настоящее время широкое распространение получил МКЭ в форме метода перемещений.

2. Вариационные основы МКЭ При решении многих задач статики, динамики и устойчивости сооружений определяется полная потенциальная энергия U: U = W – V. Здесь W – работа внешних сил, V – работа внутренних сил. Обычно они представляются в виде функций, зависящих от перемещений, деформаций, напряжений элементов расчетной модели сооружения. Исследование этого выражения позволяет выявить важные законы механики, называемые принципами. Например, в теоретической механике известен принцип Лагранжа-Дирихле: для того чтобы механическая система находилась в равновесии, ее полная потенциальная энергия должна быть постоянной. Из этого принципа следует, что приращение полной потенциальной энергии системы, находящейся в равновесии, должно равняться нулю:

где символ означает вариацию, вычисление которого схоже с вычислением дифференциала функции. Это уравнение позволяет свести задачу определения НДС сооружения к отысканию экстремума полной потенциальной энергии. Так как U =W V, уравнение Лагранжа принимает вид Вычисление приращения функции обычно заменяется вычислением его приближенного значения дифференциала. Тогда получается вариационное уравнение Лагранжа: и формулируется как принцип Лагранжа: вариация работы внутренних сил равна вариации работы внешних сил. Вариационный принцип Лагранжа используется для сведения континуальной задачи к дискретной задаче путем аппроксимации непрерывных полей перемещений, деформаций, напряжений внутри конечного элемента через его узловые перемещения. Этот принцип является основой варианта МКЭ в форме метода перемещений. Имеются и другие вариационные принципы принципы Кастильяно, Рейсснера, Ху-Вашицу и др.

3. Аппроксимация КЭ При выборе конечно-элементной модели сооружения можно вводить узлы с разным числом степеней свободы. Например, в плоской системе вводятся узлы с тремя, с двумя или с одной степенью свободы: Для использования принципа Лагранжа вводятся координатные функции, аппроксимирующие непрерывное поле перемещений внутри КЭ через перемещения ее узлов: где – вектор перемещений внутренних точек КЭ, C – матрица координатных функций, – вектор коэффициентов. Элементы матрицы C выбираются в виде полиномов, непрерывных внутри КЭ. Если в полиноме учитывается минимальное число членов, то такой КЭ называется симплекс-элементом. При учете большего числа членов полинома, КЭ называется комплекс-элементом.

Как пример рассмотрим ферменный КЭ с узлами i и j в местной системе координат. Его узлы имеют по одной поступательной степени свободы и соответствующие им узловые перемещения u 1i и u 1j. Пусть в узлах КЭ приложены силы P 1i и P 1j : Перемещения внутренних точек элемента будем аппроксимировать полиномом первой степени Запишем его в матричной форме: где матрица координатных функций, вектор коэффициентов.

Подставив и в полином, получим два равенства: С другой стороны, Тогда предыдущие уравнения примут вид: Их можно записать в матричной форме: или как где

Определим вектор : Тогда или Входящая сюда матрица называется матрицей форм. Она позволяет аппроксимировать поле перемещений внутренних точек КЭ через перемещения узлов. По аналогии с перемещениями, поле внутренних усилий в КЭ можно аппроксимировать через вектор узловых сил по формуле

4. Матрица жесткости КЭ Известные в механике геометрические и физические соотношения для континуальных систем можно записать в виде, аналогичном рассмотренным ранее уравнениям дискретного подхода: для дискретной системы для континуальной системы Здесь: и – вектора деформаций и напряжений, и – матрицы равновесия и податливости. При рассмотрении конечного элемента как континуальной системы, принцип Лагранжа можно записать в виде где левая и правая части представляют возможные работы внутренних и внешних сил, а интегрирование ведется по объему КЭ V.

После этого осуществляется переход к дискретной модели КЭ с использованием матрицы форм H. Тогда, после ряда преобразований получается матричное уравнение, связывающее вектор узловых перемещений u с вектором узловых усилий P КЭ: в которой симметричная квадратная матрица матрица жесткости конечного элемента. Физический смысл любого элемента k ij матрицы K – это реакция (реактивная сила), возникающая в i-ом направлении от заданного единичного перемещения в j-ом направлении.

К примеру, для рассмотренного ферменного КЭ, находящегося в одноосном напряженном состоянии, геометрическое уравнение будет Сравнив его с матричным уравнением видим, что матрица равновесия будет дифференциальным оператором с одним членом: Из уравнения связи между деформацией и напряжением следует, что матрица податливости будет:

Для определения матрицы жесткости такого КЭ вычислим все необходимые величины: Интегрирование по объему V сводится к интегрированию по длине l КЭ, т.к. ( F площадь сечения КЭ):

При рассмотрении прямо- угольного КЭ толщиной t и размерами 2a и 2b с четырьмя узлами i, j, k, m и восемью узловыми перемещениями, ее матрица жесткости будет иметь размеры 8 8. Для краткости записи эту матрицу жесткости представим в блочной форме с 16 блоками одинаковой размерности 2 2: Здесь μ – коэффициент Пуассона. Элементы каждого блока матрицы K определяются по разным формулам. Например,