Кафедра физики Общая физика. «Магнитостатика» 13 февраля 2004 г. ЛЕКЦИЯ 2. ПЛАН ЛЕКЦИИ 1. Примеры расчета магнитных полей: - магнитное поле на оси кругового тока. 2. Поток вектора магнитной индукции. Теорема Гаусса- Остроградского для вектора. 3. Теорема о циркуляции вектора. 4. Примеры расчета магнитных полей: - магнитное поле соленоида. - магнитное поле тороида (самостоятельно).

Кафедра физики Общая физика. «Магнитостатика» Закон Био – Савара – Лапласа. Примеры расчета магнитных полей Магнитное поле на оси кругового тока Пусть электрический ток силой течет по проводнику радиусом. Найдем магнитное поле на оси тока в точке А, находящейся на расстоянии от центра А

Кафедра физики Общая физика. «Магнитостатика» Закон Био – Савара – Лапласа. Примеры расчета магнитных полей 2. Магнитное поле на оси кругового тока А Разобьем круговой ток на элементы тока длиной и проведем от произвольного элемента тока радиус-вектор в точку А. Вектор направлен перпендикулярно плоскости, в которой располагаются вектора и

Кафедра физики Общая физика. «Магнитостатика» Закон Био – Савара – Лапласа. Примеры расчета магнитных полей 2. Магнитное поле на оси кругового тока А Поскольку все элементы тока перпендикулярны и удалены от А на одинаковое расстояние, то модуль вектора магнитной индукции в этой точке определяется выражением Разложим вектор на две составляющие: и

Кафедра физики Общая физика. «Магнитостатика» Закон Био – Савара – Лапласа. Примеры расчета магнитных полей 2. Магнитное поле на оси кругового тока А Следовательно, эти составляющие уничтожают друг друга Любые два противоположных элемента тока создают поле, составляющие которых равны по величине и противоположно направлены. Поэтому вектор магнитной индукции можно определить, просуммировав составляющие модулей вектора (этот вектор направлен вдоль положительной нормали к контуру с током)

Кафедра физики Общая физика. «Магнитостатика» Закон Био – Савара – Лапласа. Примеры расчета магнитных полей 2. Магнитное поле на оси кругового тока А Преобразуем полученное выражение, учитывая, что После подстановки получим

Кафедра физики Общая физика. «Магнитостатика» Закон Био – Савара – Лапласа. Примеры расчета магнитных полей 2. Магнитное поле на оси кругового тока В центре кругового тока, индукция магнитного поля равна Вдали от контура на оси ( ): Если умножить числитель и знаменатель этого выражения на, получим: где - площадь, охватываемая круговым током.

Кафедра физики Общая физика. «Магнитостатика» Закон Био – Савара – Лапласа. Примеры расчета магнитных полей 2. Магнитное поле на оси кругового тока Учитывая, что произведение для контура с током есть магнитный момент контура, введенный нами ранее, выражение для индукции магнитного поля, созданного замкнутым круговым током вдали от тока, можно записать в виде: Записывая это соотношение приняли, что вдали от кругового тока.

Кафедра физики Общая физика. «Магнитостатика» Графическое изображение магнитного поля кругового тока Покажем линии магнитной индукции поля кругового тока, лежащие в одной из плоскостей, проходящей через ось тока Направления векторов индукции магнитного поля, в точке, лежащей на оси, которая проходит через центр кругового тока.

Кафедра физики Общая физика. «Магнитостатика» Поток вектора магнитной индукции. Теорема Гаусса-Остроградского для вектора Потоком вектора магнитной индукции (магнитным потоком) через площадку называется величина где - угол между нормалью к площадке и вектором магнитной индукции, - проекция вектора на нормаль к площадке. Магнитный поток через площадку, в зависимости от ориентации вектора по отношению к нормали, может быть как положительным, так и отрицательным, что определяется знаком проекции. Единицей магнитного потока в системе СИ является вебер (Вб).

Кафедра физики Общая физика. «Магнитостатика» Поток вектора магнитной индукции. Теорема Гаусса-Остроградского для вектора Магнитный поток через элемент поверхности соответственно, выражается формулой В этой формуле, - орт вектора нормали. Полный поток через поверхность равен сумме потоков через все элементы поверхности, т.е. равен интегралу: Если поверхность замкнутая, то

Кафедра физики Общая физика. «Магнитостатика» Поток вектора магнитной индукции. Теорема Гаусса-Остроградского для вектора Поскольку силовые линии магнитного поля замкнуты, то любая силовая линия пересекает замкнутую поверхность дважды (четное число раз), причем один раз в положительном по отношению к нормали направлении, а другой раз – в отрицательном. Поэтому суммарный магнитный поток, пронизывающий замкнутую поверхность, всегда оказывается равным нулю: теорема Гаусса-Остроградского для магнитного поля. Поток вектора напряженности магнитного поля через любую замкнутую поверхность равен нулю:

Кафедра физики Общая физика. «Магнитостатика» Поток вектора магнитной индукции. Теорема Гаусса-Остроградского для вектора Важное следствие из теоремы Гаусса: поток вектора через замкнутую поверхность не зависит от формы этой поверхности. В дифференциальной форме уравнение Гаусса имеет вид Сведения из векторного анализа: … дивергенция характеризует интенсивность (обильность) истоков и стоков векторного поля. Физическая причина соленоидальности магнитного поля - отсутствие свободных магнитных зарядов, аналогичных электрическим зарядам. Если, это означает, что магнитное поле не имеет стоков и истоков, линии замкнутые. Магнитное поле имеет соленоидальный или вихревой характер.

Кафедра физики Общая физика. «Магнитостатика» Теорема о циркуляции вектора Циркуляцией вектора по замкнутому контуру называется интеграл вида где - вектор элемента длины контура,, - угол между векторами и Циркуляция вектора по произвольному замкнутому контуру равна произведению на алгебраическую сумму токов, охватываемых контуром: Это закон (теорема) о циркуляции вектора. Иначе эта теорема называется законом полного тока для магнитного поля в вакууме.

Кафедра физики Общая физика. «Магнитостатика» Теорема о циркуляции вектора Ток в теореме есть алгебраическая сумма токов, охватываемых контуром : Ток положительный, если его направление связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта. Ток противоположного направления - отрицательный. Пример токи, и - положительные, ток - отрицательный. Сумма токов:

Кафедра физики Общая физика. «Магнитостатика» Теорема о циркуляции вектора Если ток распределен по объему, где расположен контур, то этот ток можно представить как Интеграл берется по произвольной поверхности, «натянутой» на контур. Плотность тока под интегралом – это плотность в точке, где расположена площадка. Вектор образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему. Таким образом, теорема о циркуляции вектора в общем случае будет выглядеть так: Циркуляция вектора не равна нулю. Это означает, что магнитное поле в отличие от электростатического поля не потенциально.

Кафедра физики Общая физика. «Магнитостатика» Теорема о циркуляции вектора Применение теоремы о циркуляции вектора в ряде случаев упрощает расчет поля, особенно если вычисление циркуляции. можно свести к произведению (или проекции ) на длину контура или его часть. Пример. Вычислим магнитное поле прямого тока. Пусть ток направлен перпендикулярно плоскости рисунка, к нам. Линии вектора имеют вид окружностей с центром на оси тока. Во всех точках на расстоянии от центра модуль вектора одинаков.

Кафедра физики Общая физика. «Магнитостатика» Теорема о циркуляции вектора В итоге получили выражение или Эта формула совпадает с выражением, полученным в лекции 1. Применим теорему о циркуляции вектора для выбранного круглого контура :

Кафедра физики Общая физика. «Магнитостатика» Примеры расчета магнитных полей Магнитное поле соленоида Используем теорему о циркуляции для расчета магнитного поля соленоида Соленоид – это проводник, намотанный по винтовой линии на поверхность цилиндрического каркаса Линии магнитной индукции вне и внутри соленоида выглядят следующим образом: Линии вектора внутри соленоида направлены по оси так, что образуют с направлением тока в соленоиде правовинтовую систему

Кафедра физики Общая физика. «Магнитостатика» Примеры расчета магнитных полей Магнитное поле соленоида Пусть длинный соленоид с током имеет витков на единицу длины. Если шаг винтовой линии мал, то каждый виток соленоида можно заменить замкнутым витком. Опыт показывает, что чем длиннее соленоид, тем меньше поле вне его. Поэтому можно считать, что поле бесконечно длинного соленоида сосредоточено внутри его, а поле снаружи отсутствует Для расчета поля внутри соленоида выберем прямоугольный контур и вычислим циркуляцию магнитного поля по этому контуру.

Кафедра физики Общая физика. «Магнитостатика» Примеры расчета магнитных полей Магнитное поле соленоида А С В Д Циркуляцию вектора по замкнутому контуру АВСДА, который охватывает витков, вычислим по формуле: Интеграл по АВСДА можно представить в виде четырех интегралов: по АВ, ВС, СД и ДА.

Кафедра физики Общая физика. «Магнитостатика» Примеры расчета магнитных полей Магнитное поле соленоида А С В Д На участках АВ и СД контур перпендикулярен линиям магнитной индукции и. На участке ВС вне соленоида. На участке ДА контур совпадает с линией магнитной индукции и циркуляция вектора равна. В итоге получаем: Или:

Кафедра физики Общая физика. «Магнитостатика» Примеры расчета магнитных полей Магнитное поле соленоида А С В Д Таким образом, поле внутри соленоида однородно (краевыми эффектами пренебрегаем). Произведение называется числом ампер-витков соленоида и относится к его характеристикам. Некорректность при выводе формулы: интеграл по СВ принят равным нулю. Строгий подход: линии магнитного поля замкнуты и внешнее поле не равно нулю. Однако, это некорректность принципиально на результате не отражается. Самостоятельно: расчет магнитного поля тороида. Поскольку, то окончательно получим