Построение правильного пятиугольника "Геометрия обладает двумя великими сокровищами. Первое - это теорема Пифагора, второе - деления отрезка в крайнем и среднем отношении" Иоганн Кеплер

Правильные многоугольники привлекали внимание древнегреческих учёных ещё задолго да Архимеда. Пифагорейцы, выбравшие эмблемой своего союза пентаграмму - пятиконечную звезду, придавали очень большое значение задаче о делении окружности на равные части, то есть о построении правильного вписанного многоугольника. Альбрехт Дюрер ( гг), ставший олицетворением Возрождения в Германии приводит теоретически точный способ построения правильного пятиугольника, заимствованный из великого сочинения Птолемея "Альмагест". Интерес Дюрера к построению правильных многоугольников отражает использование их в Средние века в арабских и готических орнаментах, а после изобретения огнестрельного оружия - в планировке крепостей

Дюрер пишет: «Необходимо, чтобы тот, кто что-либо умеет, обучил этому других, которые в этом нуждаются. Это я и вознамерился сделать». Живописец подробно разрабатывает теорию пропорций человеческого тела. Важное место в своей системе соотношений Дюрер отводил золотому сечению. Рост человека делится в золотых пропорциях линией пояса, а также линией, проведенной через кончики средних пальцев опущенных рук, нижняя часть лица – ртом и т.д. Известен пропорциональный циркуль Дюрера.

Леонардо да Винчи также много писал о многоугольниках, но именно Дюрер, а не Леонардо, передал средневековые способы построения потомкам. Дюрер, конечно, был знаком с " Началами" Евклида, но не привел в своем "Руководстве к измерению" (о построениях при помощи циркуля и линейки) предложенный Евклидом теоретически точный способ построения правильного пятиугольника.

Предложенное Евклидом построение правильного пятиугольника включает в себя деление отрезка прямой в среднем и крайнем отношении, названное впоследствии золотым сечением и привлекавшим к себе внимание художников и архитекторов на протяжении нескольких столетий.

Способы построение пятиугольника По Дюреру По Евклиду

Пентагональная симметрия встречается только в живой природе и является отличительной чертой саморегулирующихся систем. Тогда как в кристаллах – «неживых структурах», согласно классической кристаллографии, возможны симметрии третьего, четвертого и шестого порядков. Из всех правильных фигур только пятиугольником нельзя заполнить плоскость. То есть, из них нельзя выложить паркет. Нужно отметить, что в поперечном сечении двойная спираль ДНК - правильный пятиугольник. Если рассмотреть правильный пятиугольник, то увидим, что он буквально "заполнен" золотым сечением, так: Углы ABF, AFD и AED равны 108° или, а углы ADF, AFB, BFC равны 36° или, при этом: Вернуться Построение по Евклиду Тест

Приближенное построение правильного пятиугольника представляет собой интерес. А.Дюрером оно проводится при условии неизменности раствора циркуля, что повышает точность построения. Способ построения описан Дюрером так: "Однако пятиугольник, построенный неизменным раствором циркуля, делай так. Проведи две окружности так, чтобы каждая из них проходила через центр другой. Два центра А и В соедини прямой линией. Это и будет стороной пятиугольника. Точки пересечения окружностей обозначь сверху С, снизу D и проведи прямую линию CD. После этого возьми циркуль с неизменным раствором и, установив одну его ножку в точку D, другой проведи через оба центра А и В дугу до пересечения её с обеими окружностями. Точки пересечения обозначь через E и F, а точку пересечения с прямой CD обозначь буквой G. Теперь проведи прямую линию через Е и G до пересечения с линией окружности. Эту точку обозначь Н. Затем проведи другую линию через F и G до пересечения с линией окружности и поставь здесь J. Соединив J,A и H,B прямыми, получим три стороны пятиугольника. Дав возможность двум сторонам такой длины достигнуть совпадения в точке K из точек J и H, получим некоторый пятиугольник." Построение по Дюреру

AB C D E F G H J K Вернуться Попробуем выполнить построение Дюрера самостоятельно: Тест

1. Что представляет собой пентаграмма? ЗвездаРукопись Пирамида

Следующий вопрос

Вернуться к вопросу!

2. Кто из перечисленных ученых не исследовал пятиугольники? Коперник Евклид Дюрер

Следующий вопрос

Вернуться к вопросу!

3. Как называется великий труд Евклида? «Основы геометрии» «Пентаграммы» «Начала»

Следующий вопрос

Вернуться к вопросу!

4. Где встречается пентагональная симметрия? В неживой природе В живой природе В учебнике геометрии

Выйти из теста

Вернуться к вопросу!

Выполнила Бурова Елена ученица 9Б класса МОУ «Лицей 43» Проверила Лобанова О. Е. учитель алгебры и геометрии МОУ «Лицей 43» Саранск 2007

Выход