Учитель математики Секисова Валентина Васильевна Секисова Валентина Васильевна МБОУ «СОШ 7» г Касимов, Рязанская область г Презентация к уроку по теме Презентация к уроку по теме «Урок одного уравнения » Алгебра и начала анализа 10 класс Алгебра и начала анализа 10 класс

Цели: рассмотреть различные методы решения тригонометрического уравнения; развивать умение логически мыслить. Оборудование: интерактивная доска. презентация, чертежные инструменты., тригонометрические формулы.

Уравнение одно – решений много. Выполнили: Баранова Светлана Езенкова Дарья Руководитель: Секисова Валентина Васильевна МБОУ «СОШ 7» г Касимов

«Знание только тогда знание, когда оно приобретено усилиями своей мысли.» Лев Толстой

Мудрость гласит: «Все дороги ведут в Рим»

sin x – cos x = 1

I способ Метод разложения на множители, используя формулы двойного угла sin x – cos x = 1 Применим формулы двойного угла: sin a = 2sin a/2cos a/2 cos a= 2costa/2 – 1 Тогда данное уравнение примет вид: 2sin x/2cos x/2 – (2cos² x/2 – 1) = 1 2sin x/2cos x/2 – 2cos² x/2 + 1 = 1 2sin x/2cos x/2 – 2cos² x/2 = 0 Разложим на множители 2cos x/2(sin x/2 – cos x/2) = 0

Произведение нескольких множителей равно 0 тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен 0, а другие при этом определены. cos x/2 = 0 или sin x/2 – cos x/2 = 0 Частный случай. Имеем однородное уравнение I степени, поделим на cos x/2 0 x/2 = π/2 + πn, n Z tg x/2 – 1 = 0 x= π + 2πn, n Z tg x/2 = 1 x/2 = π/4 + πn, n Z x = π/2 + 2 πn, n Z

Покажем на окружности x = π + 2πn, n Z x = π/2 + 2 πn, n Z Ответ: x= π + 2πn, n Z x = π/2 + 2 πn, n Z

II способ Переход к однородному уравнению, применяя основные тригонометрические формулы sin x – cos x = 1 Решим уравнение, применим формулу двойного угла: sin a = 2sin a/2 cos a/2 cos a = costa/2 – sin² a/2 1 = costa/2 + sin² a/2 2sin a/2cos a/2 - costa/2 + sin² a/2 = costa/2 + sin² a/2 2sin a/2cos a/2 - 2costa/2 = 0 Разложим на множители 2cos x/2(sin x/2- cos x/2) = 0

Произведение нескольких множителей равно 0 тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен 0, а другие при этом определены. cos x/2 = 0 или sin x/2 – cos x/2 = 0 Частный случай. Имеем однородное уравнение 1 степени, поделим на cos x/2 0 x/2 = π/2 + πn, n Z tg x/2 – 1 = 0 x= π + 2πn, n Z tg x/2 = 1 x/2 = π/4 + πn, n Z x = π/2 + 2πn, n Z Ответ: x= π + 2πn, n Z x = π/2 + 2πn, n Z

III способ При применении универсальной тригонометрической подстановки мы можем любое тригонометрическое уравнение свести к алгебраическому, но при этом необходимо помнить, что может произойти потеря корней. Поэтому необходимо выполнить проверку. sin x – cos x = 1 Применим универсальную подстановку sin a = (2tg a/2)/(1+tg² x/2) cos a = (1- tg² x/2)/(1+tg² x/2) (2tg a/2)/(1+tg² x/2) - (1- tg² x/2)/(1+tg² x/2) = 1 (доп. множитель 1+tg² x/2 ) 2tg x/2 – 1 + tg² x/2 = 1 + tg² x/2 2tg x/2 = 2 tg x/2 = 1 Частный случай. x/2 = π/4 + πn, n Z x= π/2 + 2πn, n Z

Проверим, не произошло ли потери корней, это те значения, при которых tg x/2 не имеет смысла: x/2 = π/2 + πn, n Z x= π + 2πn, n Z Следовательно, корни x= π + 2πn потеряны. 2 sin π – cos π = (-1) = 1 1=1 верно Ответ: x= π/2 + 2πn, n Z x= π + 2πn, n Z

IV способ Переход к простейшему тригонометрическому уравнению путем применения формул сложения. sin x – cos x = 1 Применим формулы привидения cos a = sin(π/2 – a), тогда sin x – sin(π/2 – x) = 1 Применим формулу разности синусов: sin x – sin b = 2cos(a+b)/2sin(a-b)/2 2sin(x – π/2 + x)/2cos(x + π/2 – x)/2 =1 2sin(2x – π/2)cos π/4 =1 2sin(x – π/4)2/2 = 1 2sin(x – π/4) = 1 sin(x – π/4) = 2/2 Получили простейшее тригонометрическое уравнение. x - π/4 = (-1)^narcsin 2/2 + πn, n Z x - π/4 = (-1)^nπ/4 + πn, n Z x = (-1)^nπ/4 + π/4 + πn, n Z

Покажем решение на единичной окружности. sin(x – π/4) = 2/2 π/4 3π/4 x - π/4 = π/4 + 2πn, n Z x = π/2 + 2πn, n Z x - π/4 = 3π/4 + 2πn, n Z x = π + 2πn, n Z Ответ: x = π/2 + 2πn, n Z x = π + 2πn, n Z

V способ Метод введения вспомогательного угла намного ускоряет процесс решения уравнения

Запишем в двух сериях sin(x – π/4) = 2/2 Корни I серии обозначим - π/4 Корни II серии обозначим - 3π/4 x – π/4 = π/4 + 2πn, n Z x = π/2 + 2πn, n Z x – π/4 = 3π/4 + 2πn, n Z x= π + 2πn, n Z Ответ: x = π/2 + 2πn, n Z x= π + 2πn, n Z

Решим самостоятельно Решить каждое уравнение несколькими способами. (Работа в парах)

Сверим ответы.

Дома. Решить два уравнение (по выбору) всеми способами.

Спасибо за внимание

Литература