Мы продолжаем изучать тему «Производная функции» Мы познакомимся с применением производной для нахождения критических точек функции Желаю успехов в изучении темы!

Применение производной к исследованию функции. Критические точки функции. х у у = g (х) у = f (х)

Повторение: описание свойств функции по её графику Изучение нового материала: точки экстремума функции стационарные точки функции критические точки функции ~ ~ ~ ~

Повторение f(х)=…

Постановка проблемы Как называются точки, в которых функция «меняет характер»? Как найти эти точки, не выполняя построения графика функции?

1. Точки экстремума Точки максимума. у = f (х) х у х 1 х 1 х 3 х 3 х 2 х 2 Точка х 0 называется точкой максимума функции f(х), если существует такая окрестность точки х 0, что для всех х = х 0 из этой окрестности выполняется неравенство f(х) > f(х 0 ). Точка х 0 называется точкой максимума функции f(х), если существует такая окрестность точки х 0, что для всех х х 0 из этой окрестности выполняется неравенство f(х) > f(х 0 ).

1. Точки экстремума. f(х 1 ) > f (x) f(x 2 ) > f (x) f(x 3 ) > f (x) Точки максимума: Х=Х 1, Х=Х 2, Х=Х Точки максимума. у = f (х) х у х 1 х 1 х 3 х 3 х 2 х 2

1. Точки экстремума. Точка х 0 называется точкой минимума функции f(х), если существует такая окрестность точки х 0, что для всех х х 0 из этой окрестности выполняется неравенство f(х) < f(х 0 ) Точки минимума. у = f (х) х у х 4 х 4 х 6 х 6 х 5 х 5

1. Точки экстремума. f(х 4 ) < f (x) f (x 5 ) < f (x) f (x 6 ) < f (x) Точки минимума: Х=Х 4, Х=Х 5, Х=Х Точки минимума. у = f (х) х у х 4 х 4 х 6 х 6 х 5 х 5

1. Точки экстремума Точки максимума и точки минимума называются точками экстремума функции. х у у = f (х) х 1 х 1 х 2 х 2 f (х 1 ) f (х 2 ) Значение функции в точке экстремума называется экстремумом функции. Максимум функции Минимум функции х 3 х 3 х 4 х 4 f (х 2 ) f (х 4 ) f (х 1 )f (х 3 )

1. Точки экстремума х у у = f (х) Касательная к графику функции, проведённая в точке экстремума параллельна оси Ох. f (x 1 ) = f (x 2 ) =f (x 3 ) = f (x 3 ) = 0

2. Точки перегиба. х у у = х 3 0 у / (х) = 3 х 2 у / (0) = 0 точка х = 0 не является точкой экстремума функции точка х = 0 является точкой перегиба функции

3. Стационарные точки. Точки в которых производная функции равна нулю, называются стационарными точками функции. Точка максимума Точка минимума Точка перегиба Стационарные точки

4. Критические точки функции. у = | x -2| - 1 х у 0 Функция может иметь экстремум в точке, в которой она не имеет производной. точка х = 2 является точкой экстремума (точкой минимума) функции в точке х = 2 функция не имеет производной

4. Критические точки функции. Внутренняя точка области определения функции, в которой эта функция имеет производную, равную нулю или не имеет производной, называется критической точкой этой функции. 4.2.

5. Выполнение заданий у = f (x) х у х = -2 х = 0 х = 2 х = 4 точка минимума точка максимума точка перегиба стационарная точка критическая точка точка экстремума

5. Выполнение заданий у = f (x) х у -2 f (x)=… Верно ли, что: 1. х = -2 – точка перегиба 2. минимум функции равен (-2) 3. х = -2 - точка минимума 4. минимум функции равен 0 5. f (х) = 0 при х=-2 6. f (х) не существует при х= -2 НЕТ ДА

5. Выполнение заданий Найдите критические точки функции f(х) = х 3 +0,5 х 2 – 4 х 1. Функция определена для всех значений х. 2. Найдём производную функции f '(х) = 3 х 2 +х– 4

5. Выполнение заданий Функция определена для х 0.

Итоги урока Точка минимума функции Точка максимума функции Точки экстремума функции Точка перегиба функции Стационарные точки функции Критические точки функции Экстремум функции Свойство производной в точке экстремума

Желаю всем успехов в изучении темы!