ИНТЕРПОЛЯЦИЯ И АППРОКСИМАЦИЯ Кафедра Информационных технологий и управляющих систем Предмет «Вычислительные методы и их применение в ЭВМ» Лекция Доцент Стрельцова Г. А.

Введение Если зависимость y(x) представлена рядом табличных отсчетов y i (x i), то интерполяция значений y(x) – это вычисление значений y(x) при заданном x, расположенном в интервале между отсчетами. За пределами общего интервала определения y(x), вычисление y(x) называют экстраполяцией (предсказанием значений функции). Аппроксимация в системах компьютерной математики – это получение приближенных значений какого - либо выражения.

Повестка дня Список изучаемых разделов: Интерполяция и ее виды. Особенности аппроксимации функций. Методы интерполяции и аппроксимации. Примеры решения задач интерполяции и аппроксимации в Maple Время, отводимое на каждый раздел: 5-10 минут.

Обзор Разделы лекции Интерполяция и ее виды Особенности аппроксимации функций Методы интерполяции и аппроксимации Примеры решений задач интерполяции и аппроксимации в Maple

Словарь терминов Интерполирующая функция – это функция F(x), которая принадлежит известному классу и принимает в узлах интерполяции те же значения, что и искомая y(x). Узлы интерполяции y(x)– это значения x в интервале [a, b] определения данной функции y(x), которые однозначно определены.

Интерполяция и ее виды Основная задача интерполирования. На отрезке [a, b] заданы n+1 точки x 0, x 1, … x i, … x n (узлы интерполяции) и значения функции y(x) в этих точках y(x 0 ) = y 0, y(x 1 ) = y 1, … y(x i ) = y i, … y(x n ) = y n. Требуется определить интерполирующую функцию F(x), которая: 1. Относится к известному классу, 2. Принимает в узлах интерполяции те же значения, что и y(x): F(x 0 ) = y 0, F(x 1 ) = y 1, … F(x i ) = y i, … F(x n ) = y n.

Интерполяция и ее виды Геометрическое представление: Найти кривую y = F(x) определенного типа, проходящую через заданную систему точек M(x i, y i ), где I =0,1,2,..n. В общем случае задача является неопределенной. Однако она становится однозначной, если вместо произвольной функции F(x) искать, например, полином P n (x) степени, удовлетворяющий условиям P n (x 0 ) = y 0, P n (x 1 ) = y 1, … P n (x i ) = y i, … P n (x n ) = y n.

Интерполяция и ее виды Геометрическое представление интерполяции 0x0x0 x1x1 x2x2 xnxn x y MiMi M0M0 M1M1 M2M2 MnMn M n-1 ………. …….. Y =F(x)

Интерполяция и ее виды Основные виды интерполяционных полиномов: 1. Канонический полином, 2. Полином Ньютона, 3. Полином Лангранжа, 4. Полином Эйткена, 5. Полином Чебышева.

Особенности аппроксимации функций Под аппроксимацией функциональных зависимостей подразумевается получение некоторой конкретной функции, вычисленные значения которой с некоторой точностью аналогичны аппроксимируемой зависимости. Обычно предпочитают найти одну зависимость, которая дает точное значение искомой функции y(x) в узловых точках в пределах погрешности вычислений по умолчанию. Для этого также используют степенные многочлены - полиномы или линейные функции.

Особенности аппроксимации функций Геометрическое представление аппроксимации 0x0x0 x1x1 x2x2 xnxn x y MiMi M0M0 M1M1 M2M2 MnMn M n-1 ………. …….. y(x)

Методы интерполяции и аппроксимации Полиномиальные Сплайновые Линейные Рациональные (отношение двух полиномов) Метод наименьших квадратов Тригонометрические (рядами Фурье).

Примеры решений задач интерполяции и аппроксимации в Maple Пример. Найти приближенное значение функции z(t) при заданном значении аргумента в табличной форме в точках x = 1, 1.5, 2. построить график найденной зависимости y(x). Решение. >t:=[данные из таблицы]; >z:=[данные из таблицы]; >x;=[1, 1.5, 2.0]; >interp(t,z,x); t z

Примеры решений задач интерполяции и аппроксимации в Maple >z:=yinterp(t,z,x); >for i from 1 to 3 do x[i]:=z(x[i]); end do; >l:=[[t[n], z[n] Sn=1..9]; > plot(l,z(y)], y= ,style=[point, line], symbol=circle) Задача сплайн-интерполяции Используется функция spline(X, Y, x, method), где параметр method определяет вид сплайна. В качестве данного параметра используются ключевые слова linear, quadratic, cubic, quadric или числа 1,2 3, 4. Если параметр не указан, то используется кубический сплайн.

Примеры решений задач интерполяции и аппроксимации в Maple Решение : > spline(t, z, y); > zs:=y spline(t, z, y); > for I from 1 to 3 do xs[i]:=zs(x[i]); end do; ZSL:=y spline(t, z, y, l); > l:=[[t[n], z[n] Sn=1..9]; > plot(l, zs(y), zsl(y)], y= , style [point, line, line], symbol=circle)

ВЫВОДЫ Рассмотренные вопросы Примеры решений в Maple. Практические работы 1. Примеры вычислений в Maple.