Как и в случае функции одной переменной, функция z=f(x,y) имеет узловые, определяющие график функции, точки. Определим точки экстремума для функции двух переменных.

Точка М(х 0,у 0 ) называется точкой максимума (минимума) функции z=f(x,y), если существует окрестность точки М, такая что для всех точек (х,у) из этой окрестности выполняется неравенство:

Экстремум имеет локальный характер, поскольку рассматривается максимальное и минимальное значение функции в достаточно малой окрестности точки М(х 0,у 0 ). Сформулируем аналог теоремы Ферма для функции двух переменных:

Пусть точка (х 0,у 0 ) является точкой экстремума дифференцируемой функции z=f(x,y). Тогда частные производные в этой точке равны нулю:

Пусть точка М(х 0,у 0 ) – точка максимума. Зафиксируем одну из переменных, например, у: у=у 0 Тогда получим функцию одной переменной z 1 =f(х,у 0 ) которая будет иметь максимум при х=х 0. Согласно теореме Ферма Аналогично можно доказать, что

Точки, в которых выполняются условия экстремума функции z=f(x,y), т.е. называются критическими или стационарными.

Необходимое условие экстремума можно сформулировать иначе: В точках максимума или минимума дифференцируемой функции градиент этой функции равен нулю:

Однако, сформулированное выше условие является необходимым, но не достаточным. Т.е., если частные производные функции в точке равны нулю, то это еще не означает, что в данной точке имеется экстремум функции. Например:

В точке М(х 0,у 0 ) выполняется необходимое условие экстремума: Но эта точка не является точкой экстремума. Она называется седловой точкой (аналог точки перегиба). Чтобы отличать такие точки от точек экстремума, необходимо рассмотреть достаточное условие экстремума.

Пусть функция z=f(x,y) 1 Определена в некоторой окрестности критической точки (х 0,у 0 ), в которой

2 Имеет в этой точке непрерывные частные производные второго порядка:

Тогда, если то в данной точке функция имеет экстремум, причем если А>0, то минимум если А<0, то максимум если то функция экстремума не имеет, если то вопрос остается открытым.

1 Найти частные производные

2 Решить систему уравнений и найти критические точки

3 Найти частные производные второго порядка, вычислить их значения в критических точках и с помощью достаточного условия экстремума сделать вывод о наличии экстремума функции.

4 Найти значения функции в точках экстремума.

Найти экстремум функции

Экстремума нет.

Экстремум есть. Т.к. А<0, то это будет максимум.