Система счисления Число в математике и информатике - это величина, а не символьная запись. Цифры – набор символов, участвующих в записи числа. системы счисления позиционные непозиционные каждой цифре соответствует величина, не зависящая от ее места в записи числа величина числа зависит от номера позиции цифры при его записи – способ записи чисел, а также арифметических действий с ними. 352, 23 VII, XIX Алфавит – совокупность различных цифр, используемых для записи чисел.

Единичная («палочная») Период палеолита тысяч лет до н.э. 2,5 тысяч лет до н.э. Древнеегипетская десятичная непозиционная система - единицы- десятки- сотни = непозиционные системы счисления или см. пример

2 тысячи лет до н.э. Вавилонская шестидесятеричная - единицы- десятки = 33 непозиционные системы счисления цифры: и - 60 ; 60 2 ; 60 3 ; … ; 60 n 2-ой разряд 1-ый разряд = = 82 пример

3 8 4 пропущенный шестидесятичный разряд = = 3632 Шестидесятеричная вавилонская система – первая известная нам система счисления, основанная на позиционном принципе. =

Римская система непозиционные системы счисления IVXLCDM Величина числа суммируется из значений цифр и групп 1-го или 2-го вида: Группа 1-го вида - несколько одинаковых подряд идущих цифр: XX = 20 Группа 2-го вида - разность значений двух цифр, если слева стоит меньшая: СМ = 1000 – 100 = 900 Цифры: D X L I I = 542 X X X I I = 32 Число формировалось из цифр, а также с помощью групп: 500 лет до н.э.

4 4 4 = CD XL IV = = C D X L I V M C M L X X I V = (M-C) = = (D-C)+ (L-X)+ (V-I) IVXLCDM

непозиционные системы счисления Алфавитные системы «… В год Варяги из заморья взимали дань…» - тысячи - тьма: х легион леодр колода («Повесть временных лет»)... = «более сего несть человеческому уму разумевати» - титло «Аз» «Веди» «Глаголь»«Добро» «Есть»«Зело» « Земля »«Иже»«Фита»«И»

непозиционные системы счисления Какая разница между понятиями «цифра» и «число»? Какие следы разных систем счисления сохранились в наше время?

Позиционной называют систему счисления, в которой число представляется в виде последовательности цифр, количественное значение которых зависит от места (позиции), которое занимает каждая из них в числе. позиционные системы счисления Базис позиционной системы счисления – это последовательность чисел, каждое из которых задает значение цифры «по месту» и «вес» каждого разряда. Десятичная система: 1, 10, 10 2, 10 3, …, 10 n Двоичная система: 1, 2, 2 2, 2 3, …, 2 n P-ичная система: …, p -n, …, p -2, p -1, p 0, p 1, …, p n p – основание системы позиция 2 позиция3 позиция 4 позиция х 1 х 10х 100х (10 3 ) (10 2 ) (10 1 ) (10 0 )

позиционные системы счисления Традиционные: P-ичные Пример: Десятичная система Базис: …, 10 -2, 10 -1, 1, 10 1, 10 2, 10 3, …, 10 n Основание: 10 Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Нетрадиционные Фибоначчиевая система Базис: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, … Алфавит: 0, 1 Пример: ф = =37 10 Смешанные: P-Q-ичные Каждая цифра числа, заданного в Q-ичной системе, заменяется ее представлением в P-ичной системе. Двоично-десятичная система = Почему в записи числа в фибоначчиевой системе не могут стоять две единицы подряд? 1,1, Базис системы – геометрическая прогрессия с основанием p: …, p -2, p -1, p 0, p 1, p 2, p 3, p 4, p 5, …

В любой традиционной P-ичной позиционной системе счисления число равно сумме степеней основания: позиционные системы счисления X = anPn anPn + a n-1 P n-1 + … +a1P +a1P + a0 a0 + b -1 P -1 + b -2 P -2 + … + b -k P -k + … X p = a n …a 1 a 0, b -1… b -k... P = Арифметические действия над числами во всех P-ичных системах счисления выполняются одинаково. ( + ) 147, , = , , ,001 =

Двоичная система счисления p=2 – основание системы; 0, 1 – алфавит Лейбниц (Leibniz) Готфрид Вильгельм ( ) немецкий философ, математик, физик, языковед Лейбниц, изрядное время уделивший двоичной (бинарной) математике, видел в ней «… прообраз творения». Он считал, что «единица представляет божественное начало, а ноль – небытие. Высшее Существо создает все сущее из небытия точно таким же образом, как единица с помощью нуля выражает все числа» = = = = = = = = = Перевод из двоичной системы счисления в десятичную: см. слайд С конца ХХ века, века компьютеризации, человечество пользуется двоичной системой ежедневно, так как вся информация, обрабатываемая ЭВМ, хранится в них в двоичном виде …, ¼, ½, 1, 2, 4, 8, 16, 32, … – базис (…, 2 -2, 2 -1, 2 0, 2 1, 2 2, 2 3, 2 4, 2 5, …)

Двоичная система счисления 2 – основание системы 0, 1 – алфавит Перевод из десятичной системы счисления в двоичную: 51 : 2 = : 2 = : 2 = : 2 = : 2 = 1 1 остаток = : 2 = : 2 = : 2 = : 2 = : 2 = : 2 = = = = = 168 : 2 = : 2 = : 2 = : 2 = : 2 = : 2 = : 2 = 1 0 остаток = : 2 = : 2 = : 2 = : 2 = : 2 = : 2 = : 2 = = : 2 = : 2 = : 2 = : 2 = : 2 = : 2 = =

Необыкновенная девочка Ей было тысяча сто лет, ( 1100 ) Она в сто первый класс ходила, ( 101 ) В портфеле по сто книг носила -( 100 ) Всё это правда, а не бред. Когда, пыля десятком ног, ( 10 ) Она шагала по дороге, За ней всегда бежал щенок С одним хвостом, зато стоногий. ( 100 ) Она ловила каждый звук Своими десятью ушами, ( 10 ) И десять загорелых рук Портфель и поводок держали. Рассматривали мир привычно… И десять темно-синих глаз ( 10 ) Но станет всё совсем обычным, Когда поймете вы рассказ. ( 10 ) ( 1 )

Системы счисления позиционныенепозиционные единичная древнеегипетская вавилонская римская алфавитная X X X I IX X X I I колода традиционные нетрадиционные смешанные Ф

Используя римскую систему счисления выпишите числа от 95 до = XCV 96 = XCVI 97 = XCVII 98 = XCVIII 99 = XCIX 100 = C 101 = CI 102 = CII 103 = CIII 104 = CIV 105 = CV

Можно ли любое целое число представить в виде суммы степеней двойки? Какое максимальное число можно записать в двоичной системе счисления пятью цифрами? Ответ: да. Ответ: =

Было 11 яблок. После того как каждое яблоко разрезали пополам, стало 110 половинок. Возможно ли это? Обоснуйте ответ. Ответ: да, если считать числа в задаче представленными в двоичной системе счисления: 11 2 = =3 10 ; = = = 6 10

Определите четное число или нечетное: а) б) в) г) Сформулируйте критерий четности в двоичной системе. Ответ: четное число в двоичной системе счисления оканчивается на 0, а нечетное – на 1. а) = 5 10 ; б) = 6 10 ; в) = 9 10 ; г) = 4 10

Выпишите алфавит и базис традиционной позиционной пятеричной системы счисления. Пятеричная система счисления Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4 Базис: …, 5 -2, 5 -1, 1, 5, 5 2, 5 3, …

Переведите данные десятичные числа в двоичную систему: 10, 20, 100, 200, = = = = =