Если каждому натуральному числу n по некоторому закону поставлено в соответствие определенное число a n, то говорят, что задана числовая последовательность.

Презентация:



Advertisements
Похожие презентации
Содержание Понятие числовой последовательности Примеры числовых последовательностей Способы задания последовательностей Ограниченность числовых последовательностей.
Advertisements

Последовательность. Арифметическая прогрессия.. Последовательностью называется функция заданная на множестве N натуральных чисел или на множестве n первых.
Company Logo Ограниченные множества Определение. Множество А называется ограниченным сверху (снизу), если существует такое действительное.
Y=f(x) ПЕРЕМЕННАЯ ВЕЛИЧИНА Величина х называется переменной, если она принимает различные значения. 1. Последовательность –переменная величина. Пример:
Company Logo Предел функции по Коши Пусть функция у = f(x) определена в окрестности точки x 0. В самой точке x 0 функция может быть.
С в о й с т в а ч и с л о в ы х п о с л е д о в а т е л ь н о с т е й.
Лектор Янущик О.В г. Математический анализ Раздел: Введение в анализ Тема: Числовые последовательности (основные определения, предел последовательности,
Числовая последовательность и её предел. Сходимость последовательности.
Предел числовой последовательности Число b называют пределом последовательности, если в любой заранее выбранной окрестности точки b содержатся.
Предел и непрерывность функции одной переменной. Понятие функции Функцией называется отношение, при котором каждому элементу множества X соответствует.
Предел и непрерывность функции.. Бесконечно малая и бесконечно большие величины. Переменная величина α называется бесконечно малой, если она изменяется.
Определение. Функцию y=f(x), x N называют функцией натурального аргумента или числовой последовательностью и обозначают y = f(n) или y 1, y 2, …, y n,
{ предел последовательности - число e - оценка – предел функции - теоремы о пределах - признаки существования пределов - замечательные пределы – первый.
Лектор Белов В.М г. Математический анализ Раздел: Введение в анализ Тема: Бесконечно большие последовательности Предел функции (определение и свойства.
О. Степенным рядом называется функциональный ряд вида (1) где a 0, a 1, a 2, …,a n,…, а также x 0 – постоянные числа. Точку x 0 называют центром степенного.
Рассмотрим функцию y = f(x) с областью определения D R. Определение предела функции по Коши: число А называется пределом функции f в точке x 0, если она.
Предел функции Лекция 1. Ведение в Математический анализ – часть математики, в которой функции и их обобщения изучаются с помощью пределов. § Понятие.
Непрерывность функции Рассмотрим функцию f(x), определенную в некоторой окрестности точки Функция f(x) называется 1) она имеет предел в точке если 2) этот.
Учебное пособие по дисциплине «Элементы высшей математики» Преподаватель: Французова Г.Н.
1.Числовые ряды. Определение. 2.Необходимый признак сходимости. 3.Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами. 4.Знакопеременные ряды.
Транксрипт:

Если каждому натуральному числу n по некоторому закону поставлено в соответствие определенное число a n, то говорят, что задана числовая последовательность

Числа a 1,a 2 …a n называются членами последовательности, а число a n называется общим членом или n-мы членом данной последовательности. Например: 1 2

Изобразим члены последовательности (2) точками на числовой оси. Можно заметить, что члены последовательности с ростом n сколь угодно близко приближаются к нулю.

Последовательность {a n } называется ограниченной сверху (снизу), если существует такое число М (m), что любой элемент этой последовательности удовлетворяет неравенству:

Последовательность {a n } называется ограниченной, если она ограничена сверху и снизу:

Последовательность (1) ограничена снизу, но не сверху. Последовательность (2) ограничена, т.к. все ее элементы находятся внутри промежутка [0,1]. Если выполняется условие то последовательность называется возрастающей. Если выполняется условие то последовательность называется убывающей. Последовательность (1) возрастающая. Последовательность (2) убывающая.

Число А называется пределом числовой последовательности {a n }, если для любого, сколь угодно малого числа ε>0, найдется такой номер N, что при всех n>N, выполняется неравенство:

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся. В противном случае последовательность расходящаяся. Смысл определения предела числовой последовательности: Для достаточно больших номеров n члены последовательности очень мало отличаются от числа А (меньше, чем на число, ε, каким бы малмы оно не было).

ПРИМЕР. Дана последовательность Показать, что предел этой последовательности равен 1. 3

РЕШЕНИЕ: Пусть ε=0.1 Тогда неравенство примет вид:

Если ε=0.01, то неравенство выполняется при Для любого ε >0, неравенство выполняется при Т.е. для любого ε >0 существует номер Что для всех n>N, выполняется неравенство:

Рассмотрим геометрический смысл предела числовой последовательности. Для этого изобразим члены последовательности (3) точками на числовой оси.

Неравенство равносильно двойному неравенству которое соответствует попаданию членов последовательности в ε – окрестность точки А.

Т.е. число А есть предел числовой последовательности {a n }, если для любого, сколь угодно малого числа ε>0, найдется такой номер N, начиная с которого все члены последовательности будут заключены в ε – окрестности точки А, какой бы узкой она не была. Вне этой окрестности может быть только конечное число членов последовательности.