Точка х 0 называется точкой максимума функции f(x), если в некоторой окрестности точки х 0 выполняется неравенство

Точка х 1 называется точкой минимума функции f(x), если в некоторой окрестности точки х 1 выполняется неравенство Значения функции в точках х 0 и х 1 называются соответственно максимумом и минимумом функции. Максимум и минимум функции называется экстремумом функции.

На одном промежутке функция может иметь несколько экстремумов, причем может быть, что минимум в одной точке больше максимума в другой. Максимум или минимум функции на некотором промежутке не являются в общем случае наибольшим и наименьшим значением функции. Если в некоторой точке х 0 дифференцируемая функция f(x) имеет экстремум, то в некоторой окрестности этой точки выполняется теорема Ферма и производная функции в этой точке равна нулю:

Однако, функция может иметь экстремум в точке, в которой она не дифференцируема. Например, функция имеет минимум в точке но она в этой точке не дифференцируема.

Для того, чтобы функция y=f(x) имела экстремум в точке х 0, необходимо, чтобы ее производная в этой точке равнялась нулю или не существовала.

Точки, в которых выполняется необходимое условие экстремума, называются критическими или стационарными. Т.об., если в какой-либо точке имеется экстремум, то эта точка является критической. Но критическая точка не обязательно является точкой экстремума.

Найти критические точки и экстремумы функций: 1

Применим необходимое условие экстремума: - критическая точка

2

Применим необходимое условие экстремума: - критическая точка

Если при переходе через точку х 0 производная дифференцируемой функции y=f(x)меняет знак с плюса на минус, то х 0 есть точка максимума, а если с минуса на плюс, то х 0 есть точка минимума.

Пусть производная меняет знак с плюса на минус, т.е. на некотором интервале а на некотором интервале Тогда функция y=f(x) будет возрастать на

и будет убывать на По определению возрастающей функции Для убывающей функции -точка максимума. Аналогично доказывается для минимума.

1 Найти производную функции 2 Найти критические точки функции, в которых производная равна нулю или не существует.

3 Исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки. 4 Найти экстремум функции.

Исследовать функцию на экстремум:

Применим схему исследования функции на экстремум: 1 Находим производную функции:

2 Находим критические точки:

3 Исследуем знак производной слева и справа от каждой критической точки: В точке х=1 экстремума нет.

4 Находим экстремум функции:

Если первая производная дифференцируемой функции y=f(x) в точке х 0 равна нулю, а вторая производная в этой точке положительна, то х 0 есть точка минимума, а если вторая производная отрицательна, то х 0 есть точка максимума.

Пусть следовательно и в некоторой окрестности точки х 0, т.е.

функция будет возрастать на содержащем точку х 0. Но на интервале на интервале а на интервале

Таким образом, функция при переходе через точку х 0 меняет знак с минуса на плюс, следовательно эта точка является точкой минимума. Аналогично доказывается случай для максимума функции.

Схема исследования функции на экстремум в этом случае аналогична предыдущей, но третий пункт следует заменить на: 3 Найти вторую производную и определить ее знак в каждой критической точке.

Из второго достаточного условия следует, что если в критической точке вторая производная функции не равна нулю, то эта точка является точкой экстремума. Обратное утверждение не верно: если в критической точке вторая производная функции равна нулю, то эта точка также может являться точкой экстремума. В этом случае для исследования функции необходимо использовать первое достаточное условие экстремума.