Предикаты Определение 1 а) Множество называется n- местным предикатом (отношением) между элементами множеств А 1,А 2,...,А n ; б) Если, то мы говорим, что отношение Р истинно на наборе (a 1,a 2,...a n ) и обозначаем Р(a 1,a 2,...a n )=1 или просто Р(a 1,a 2,...a n ), если же, то мы говорим, что P ложно на наборе (a 1,a 2,...a n ) и пишем Р(a 1,a 2,...a n )=0 или (a 1,a 2,...a n ). Определение 2 Пусть – n-местный предикат. а) При n=1 называется одноместным предикатом или свойством, определенным на множестве ;

б) при n=2 Р называется двухместным предикатом или бинарным предикатом или просто отношением; в) если, то Р называется отношением между элементами множества А. Примеры 1) Пусть. Свойство определяется условием: – четное число, тогда Р={...;-4;-2;0;2;4;...}. 2),, определяется условием: – иррациональное число. Тогда, 3) – множество всех людей, определим так: – мужчина а

4) – множество треугольников на плоскости, – равносторонний треугольник Определение 3 Пусть – бинарный предикат. Тогда предикат называется обратным к Р, если для любых и Обозначим через следующий бинарный предикат: I А называется диагональным отношением или отношением равенства или просто равенством на множестве А. Очевидно, что.

Определение 4 Пусть бинарные предикаты, тогда предикат определяется следующим условием: для любых существует, такой, что называется суперпозицией предикатов Р и Q. Пример 1 A={1,2,3},B={a, b, c},C={x, y, z}; P={(1;a);(1;c);(2;b);(2;c);(3;a)} A х B; Q={(a; x);(a; y);(b; y);(b; z);(c; x);(c; z)} B х C; ={(1;x);(1;y);(1;z);(2;x);(2;y);(2;z);(3;x);(3;y)}= =(A х C)/{(3;z)}.

Теорема 1 Пусть, тогда а) ; б). Доказательство а) Возьмем существует. Но влечет X=Z, значит, то есть. Теперь возьмем, тогда можно написать, то есть существует такое, что, значит. Аналогично доказывается пункт б).

Теорема 2 Пусть и, тогда. Доказательство Возьмем существует, такой, что. Теорема 3 Пусть тогда – ассоциативность суперпозиции.