Кафедра математики и моделирования Старшие преподаватели Е.Д. Емцева и Е.Г. Гусев Курс «Высшая математика» Лекция 9. Тема: Случайное событие. Вероятность события. Цель: Разобрать понятия опыта случайного события, вероятности. Обсудить условия применения классической формулы вероятности.

Теория вероятностей – математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях. Под опытом (экспериментом, испытанием) мы будем понимать некоторую совокупность условий, при которых наблюдается то или иное явление. Опыт может протекать независимо от человека, который может выступать в роли наблюдателя. Опыт со случайным исходом – это опыт, результат которого изменяется при его повторении. Случайным событием называется всякий факт, которой в опыте со случайным исходом может произойти или не произойти. События обозначают большими буквами латинского алфавита.

Примеры 1)Опыт: бросание монеты. Событие: появление числа. 2) Опыт: стрельба по мишени. Событие: попадание в десятку. 3) Опыт: изъятие карты из колоды. Событие: появление короля. 4) Опыт: измерение температуры у больных. Событие: температура равна 39°С хотя бы у одного больного.

Вероятность Вероятность – это число, характеризующее степень возможности появления события. Наблюдаемые события делятся на 3 вида: достоверное – событие, которое в результате опыта неизбежно произойдет; невозможное – событие, которое в данном опыте не может произойти; случайное – событие, которое в результате опыта либо происходит, либо не происходит.

Примеры 1. В корзине три белых шара. Опыт: извлечение 1 шара. Событие A: шар белый ( достоверное событие). Событие B: шар черный шар (невозможное событие). 2. В корзине два белых и один черный шар. Опыт: извлечение 1 шара. Событие C: шар белый (случайное событие). Событие D: шар зеленый (невозможное событие). Сформулируйте достоверное событие для данного опыта.

Полная группа событий Говорят, что несколько событий в данном опыте образуют полную группу, если в результате опыта неизбежно должно появиться хотя бы одно из них. Примеры: появление 1, 2,3,…..6 при бросании игральных костей. появление карты масти черви, пики, крести, бубны при вынимании 1 карты из колоды. при ответе на два вопроса: «хотя бы один не верный», «хотя бы один верный» К полной группе можно прибавить еще какие угодно события, в результате группа останется полной.

Несовместные события Несколько событий в данном опыте называются несовместными, если никакие два из них не могут появиться вместе. Примеры: выпадение 1 и 2 при бросании кости; при измерении температуры воздуха ежедневно t 20˚; появление короля, десятки, шестерки при вынимании 1 карты из колоды. Из несовместных событий можно убрать любые (пока остаются хотя бы 2) не нарушая свойства несовместности.

Равновозможные события Несколько событий в данном опыте называются равновозможными, если есть основания считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое. Примеры: появление определенного числа очков при бросании кости появление карты одной масти при изъятии 1 карты из колоды.

Случаи Образующие полную группу несовместные и равновозможные события называются случаями (шансами) Примеры: появление «герба», «решки» при бросании монеты появление карты масти «черви», «бубны», «треф», «пики» при изъятии из колоды одной карты вызов одного человека к доске из группы студентов Случай называется благоприятным событию А, если появление этого случая влечет за собою появление события А. Примеры: Появление картинки при изъятии одной карты из колоды в 36 карт: благоприятны 4+4+4=12 случаев и неблагоприятны остальные 24 случая. Появление герба при бросании монеты: благоприятны 1 случай, неблагоприятны – 1 случай.

Классическое определение вероятности Определение: Вероятностью события А называется отношение числа благоприятных этому событию случаев к общему числу всех случаев

Свойства вероятности 1. - вероятность достоверного события; 2. - вероятность невозможного события; 3. 0P(A)1 - вероятность любого события.

Задачи: 1) Из урны, содержащей 3 белых шара и 5 синих шаров, извлекают 1 шар. Найти вероятность того, что шар белый. Событие A : вытащили белый шар. P(A)=3/8. 2) Из урны, содержащей 8 шаров: 5 синих и 3 красных, извлекают 2 шара. Найти вероятность того, что вытащили 2 синих шара. Событие B: изъятые шары синие P(B)= 3) Бросают 2 монеты. Найти вероятность, что выпадет хотя бы один герб –А= {хотя бы 1 герб}, –А1= {1 герб, 1 решка}, А2={1 герб, 1 герб} –А3= {1 решка, 1 решка}, А4={1 решка, 1 герб} – P(A)=3/4 4) Забыто три последние цифры в номере телефона. Найти вероятность того, что номер угадан с первого раза. Событие С: номер угадан. P(C)=

Относительная частота Определение: Относительной частотой называется отношение числа испытаний, в которых событие появилось к общему числу фактически произведенных испытаний - относительная частота события А или статистическая вероятность, m- число появлений события,n – общее число испытаний. Отличие вероятности от относительной частоты: вероятность вычисляют до опыта, а относительную частоту – после опыта.

Пример: При бросании игральной кости A – появление 1: P(А)=1/6, но не обязательно равняется 1/6. При малом числе опытов частота события непредсказуема, случайна. Однако при большом числе опытов n частота все более теряет свой случайный характер, она проявляет тенденцию стабилизироваться, приближаясь с незначительными колебаниями к некоторой средней постоянной величине. Оказалось, что это постоянная величина есть вероятность появления события. Устойчивость относительной частоты

Вопросы: Ответить на вопрос слайда 5. Можно ли в задаче 3 (слайд 12) случай А и А объединить в один и применить классическую формулу? Почему? 14