Кафедра математики и моделирования Старшие преподаватели Е.Д. Емцева и Е.Г. Гусев Курс «Высшая математика» Лекция 12. Тема: Решение задач с использованием теорем сложений и умножения вероятностей. Цель: Научиться использовать теоремы сложения и умножения при решении задач.

Теоремы сложения и умножения для двух событий 1) P(A + B) = P(A) + P(B) (A,B - несовместны)1) P(A + B) = P(A) + P(B) (A,B - несовместны) 2)2) 3) P(AB) = P(A) P(B), (A,B- независимы)3) P(AB) = P(A) P(B), (A,B- независимы) 4) P(AB) = P(A) P(B ׀ A)4) P(AB) = P(A) P(B ׀ A)

История о находчивом майоре В городе объявлен розыск четверых особо опасных преступников, ограбивших банк. Чтобы предотвратить утечку информации при передаче в Центр сообщений о ходе розыска, майор Зимин придумал такой способ. Он зашифровал первыми буквами алфавита следующие события: Событие Р- обнаружен преступник Рыков; Событие У - обнаружен преступник Угрюмов; Событие Ф - обнаружен преступник Фомкин; Событие Т - обнаружен преступник Тимошкин. Вскоре в центр пришли следующие сообщения: 1) У+Ф, 2)УТ, 3),4) 5)УТ(Ф+Р), 6)УТФ,7)УТФР

История о находчивом майоре Зашифруйте следующие донесения а) взят только один из четырех, б) взят по крайней мере один, в) взяли не менее двух, г) взяли только двоих, д) взяли только троих, е) ни один не обнаружен.

История одной сессии В сессию студент должен был сдать два экзамена и один зачет. Событие А состоит в том, что студент сдал экзамен по английскому языку, событие В – он сдал экзамен по философии, С – получил зачет по математике. Р(А)=0,5; P(B)=0,4; P(C)=0,7. Найти вероятность того, что 1) студент не получил зачета; 2) сдал два экзамена; 3) сдал по крайней мере один экзамен; 4) получил зачет, но не сдал ни одного экзамена; 5) сдал только один экзамен и не получил зачета; 6) не сдал ничего; 7) сдал все

Задача 1. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка 0,8, а для второго – 0,6. Стрелки независимо друг от друга сделают по одному выстрелу. Какова вероятность того, что в мишень попадет хотя бы один из стрелков? Решение: Авторское решение А – попадание первого стрелка, В – попадание второго стрелка, С – попадание хотя бы одного из стрелков. Тогда, очевидно С = А + В, причем события А и В совместны. Следовательно, р(С) = р(А) + р(В) – р(АВ). Так как события А и В независимы, то р(С) = р(А) + р(В) – р(А) р(В)= 0,8 + 0,6 – 0,8 · 0,6 = 0,92. Другое решение р(С)=1-р( )=1-0,2*0,4=1-0,08=0,92

2. В команде из 12 спортсменов 5 мастеров спорта. По жеребьевке из команды выбирают 3 спортсменов. Какова вероятность того, что все выбранные спортсмены являются мастерами спорта?2. В команде из 12 спортсменов 5 мастеров спорта. По жеребьевке из команды выбирают 3 спортсменов. Какова вероятность того, что все выбранные спортсмены являются мастерами спорта? Решение Решение 1)1) 2) р(А) = р(А1) р(А2/A1)* *p(A3/A1A2) =2) р(А) = р(А1) р(А2/A1)* *p(A3/A1A2) = =Задача

Задача 3. Монета брошена три раза. Найдите вероятность того, что герб выпадет ровно два раза. Решение: А i – выпадение герба при i-м бросании монеты (i = 1, 2, 3), А – выпадение 2 гербов при 3 бросаниях монеты. А = А 1 А 2 + А 1 А 3 + А 2 А 3. р(А) =р( А 1 ) р(А 2 ) р( ) + р(А 1 ) р( ) р(А 3 ) + + р( ) р(А 2 ) р(А 3 )=

Задача 4 В урне n белых и n черных шаров. Все шары из урны извлекаются парами, причем вынутые шары обратно не возвращаются. Какова вероятность того, что все пары будут состоять из разноцветных шаров? Решение: Пусть A k (k=1,2,...,n) обозначает, что k-я пара состоит из разноцветных шаров. Тогда вероятность события А= А 1 А 2... А n равна р(А) = р(А 1 ) р(А 2 /A 1 ) …p(A n /A 1 A 2... A n-1 ) = =

Вопросы: Какие события называют совместными (несовместными)? Какие события называют зависимыми (независимыми)?