Полный дифференциал функции нескольких переменных Лекция 2

Полное приращение функции 2-х переменных Если обеим переменным дать приращение, то функция получит полное приращение

Определение дифференцируемой функции Функция называется дифференцируемой в точке М(х,у), если ее полное приращение можно представить в виде, где Δx и Δy -произвольные приращения аргументов х и у в некоторой окрестности точки М(х,у), А и В – постоянные, независящие от Δx и Δy, o(ρ)- бесконечно малая более высокого порядка, чем - расстояние между М(х,у) и

Определение дифференциала Главная линейная относительно Δx и Δy часть полного приращения функции называется полным дифференциалом этой функции и обозначается dz или df(x,y). Таким образом,.

Формула для вычисления дифференциала Если функция дифференцируема в точке М(х,у),то она имеет в этой точке частные производные и, причем =А, а =В. Так что,. Если положить,то

При малых, то есть, или. Пример. Вычислить приближенно.

Дифференциалы высшего порядка Дифференциалом второго порядка функции z=f(x,y) называется Вообще: Если х и у независимые переменные, то.

Экстремумы функции двух переменных Определение. Говорят, что в точке функция f (x,y) имеет максимум, если существует такая окрестность этой точки, что для всех точек P(x,y) этой окрестности, отличных от, выполнено неравенство Аналогично определяется минимум функции. Минимум и максимум функции называются ее экстремумами..

Экстремумы функции двух переменных Теорема (необходимое условие экстремума). В точке экстремума функции нескольких переменных каждая ее частная производная либо равна нулю, либо не существует. Точки, в которых выполнены эти условия, называются критическими.

Достаточные условия экстремума функции двух переменных Теорема. Пусть функция z=f(x,y) определена и имеет непрерывные частные производные до 3-го порядка в некоторой окрестности точки, в которой. Если при этом в этой точке выполнено условие, то точка является точкой экстремума функции, причем точкой максимума, если, и точкой минимума, если. Если же в этой точке, то экстремума в точке нет. В том случае, если в точке, теорема ответа не дает.

Пример Исследовать на экстремум функцию

Наибольшее и наименьшее значения функции Определение. Наименьшее или наибольшее значение функции в данной области называется абсолютным экстремумом функции (абсолютным минимумом или абсолютным максимумом соответственно) в этой области.

Известно, что непрерывная в замкнутой ограниченной области функция достигает в ней своих наибольшего и наименьшего значений. Абсолютный экстремум достигается функцией либо в критических точках, либо на границе области.

Пусть функция непрерывна в замкнутой ограниченной области G, дифференцируема внутри этой области. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции в этой области, нужно: 1)найти критические точки, принадлежащие этой области, и вычислить в них значения функции; 2)найти наибольшее и наименьшее значения функции на границе области; 3)из всех найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

Пример Найти наибольшее и наименьшее значения функции в треугольнике, ограниченном прямыми,.

Скалярное поле Лекция 3

Основные определения Пусть в области D пространства Охуz задана функция u=u(х,у,z). В этом случае говорят, что в области D задано скалярное поле, а саму функцию u=u(х,у,z)называют функцией поля. Например, поле давлений, температур и т.д.

Основные определения Множество точек М области D, для которых скалярное поле сохраняет постоянное значение, т. е. u(М)=С, называется поверхностью уровня ( или изоповерхностью) скалярного поля.

Если область D расположена на плоскости Оху, то поле u=u(х,у) является плоским. Поверхности уровня называют в этом случае линиями уровня.

Пусть

Линии уровня Пусть. Линии уровня этой поверхности имеют вид

Пусть дан конус

Линии уровня конуса

Пусть задана дифференцируемая функция скалярного поля. Рассмотрим точку этого поля и луч, выходящий из точки P в направлении единичного вектора где –углы, образованные вектором с осями координат.

Определение Пусть – какая-нибудь другая точка этого луча. Обозначим – расстояние между точками P и ; называют величиной перемещения. Приращением функции в направлении назовем разность x P γ y z x P1P1 β α 0 Рис.

Производной функции в точке P по направлению называется предел отношения приращения функции в направлении к величине перемещения при :.

Вычисление производной по направлению Формула вычисления производной по направлению:

Градиент скалярного поля Градиентом скалярного поля u=u(x,y,z), где u=u(x,y,z)- дифференцируемая функция, называется вектор с координатами. Таким образом, или.

Пример Найти градиент функции u= в точке M(6,2,3). Решение. Вычислим градиент функции. Тогда grad u = + + А в точке М

Направление градиента Теорема. Производная функции по направлению равна проекции градиента этой функции на данное направление (в соответствующей точке).

Направление градиента Так как производная по направлению представляет собой скорость изменения функции в данном направлении, а проекция вектора на другой вектор имеет максимальное значение, если оба вектора совпадают по направлению, то градиент функции в данной точке указывает направление наиболее быстрого возрастания функции.

Величина градиента плоского скалярного поля Величина градиента плоского скалярного поля,т.е. grad u = обозначается tg и определяет крутизну наибольшего ската или подъема поверхности u = f (x, y).

Градиент скалярного поля в данной точке по величине и направлению равен максимальной скорости изменения поля в этой точке, т. е., где.

Направление градиента Точка Р, в которой gradu(P)=0, называется особой точкой скалярного поля. В противном случае эту точку называют не особой или обыкновенной точкой поля. Теорема. Во всякой не особой точке плоского скалярного поля градиент поля направлен по нормали к линии уровня, проходящей через эту точку, в сторону возрастания поля.