Систематическое интегрирование

Содержание 1. Некоторые сведения о многочленах 2. Интегрирование дробно- рациональных функций. 3. Интегрирование тригонометрических функций. 4. Интегрирование простейших иррациональностей.

Некоторые сведения о многочленах

Понятие многочлена Функция, где n–целое число, называется многочленом или рациональной целой функцией от x. Число n называют степенью многочлена. Коэффициенты –это действительные или комплексные числа. Независимая переменная x также может быть как действительным, так и комплексным числом.

Теорема Безу Число a является корнем многочлена тогда и только тогда, когда многочлен делится на x–a без остатка.

Доказательство Если многочлен степени n разделить на x–a, то очевидно в частном получится многочлен степени, а в остатке от деления число, то есть (*) Тогда если x=a–корень многочлена, то и, подставляя x=a, в обе части равенства (*), получим r=0.

Доказательство Обратно, если r=0, то при x=a правая часть (*) обращается в нуль, тогда и, то есть x=a–корень. Из теоремы Безу следует, что если x=a–корень многочлена, то

Теоремы алгебры Теорема.Всякий многочлен степени имеет по крайней мере один корень. Теорема. Всякий многочлен степени n разлагается на n линейных множителей вида и множитель, равный коэффициенту при.

Случай кратных действительных корней Если в разложении многочлена на множители некоторые линейные множители окажутся одинаковыми, то их можно объединить, и тогда разложение многочлена на множители будет иметь вид: При этом. В этом случае корни называются корнями кратности соответственно.

Пример. Корень –двукратный корень этого многочлена, –простой корень.

Случай комплексных корней Теорема. Всякий многочлен n–ой степени имеет ровно n корней (действительных или комплексных). Теорема. Если многочлен с действительными коэффициентами имеет комплексный корень, то он имеет и сопряженный корень.

Продолжение Итак, в разложении многочлена на множители комплексные корни входят попарно сопряженными.Им соответствует множитель вида где дискриминант отрицателен.

Случай кратных комплексных корней Если комплексные корни многочлена являются кратными, то этот многочлен с действительными коэффициентами разлагается на множители согласно формуле где

Интегрирование рациональных дробей

Рациональные дроби Рациональной дробью называется выражение вида, где - многочлены степеней n и m соответственно. Если степень числителя ниже степени знаменателя, то рациональная дробь называется правильной, в противном случае -неправильной.

Рациональные дроби Если рациональная дробь является неправильной, то произведя деление на по правилу деления многочленов, ее можно представить в виде, где - некоторый многочлен, а - правильная рациональная дробь.

Простейшие рациональные дроби Правильные рациональные дроби вида где k–целое положительное число 2, дискриминант квадратного трехчлена отрицателен, называются простейшими дробями I, II, III и IV типов.

Интегрирование простейших рациональных дробей Дробь 1-го типа: Дробь 2-го типа:

Пример интегрирования рациональной дроби Найдем Разложим знаменатель дроби на множители: Тогда Приведем дроби к общему знаменателю и освободимся от знаменателя.

Продолжение Положим в обеих частях этого тождества х=0. Получим 8=4А. Тогда А=2. При х=-2 20=-2С, а С=-10. Приравнивая коэффициенты при в обеих частях тождества, получаем 3=А+В, а так как А=2, то В=1. Имеем

Продолжение

Пример интегрирования рациональной дроби Вычислить Приведем выражение к общему знаменателю:.

Приравняем числители. Многочлены, стоящие в правой и левой частях этого соотношения тождественно равны, т. е. равны коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях последнего соотношения. е Продолжение

Отсюда получаем: С=1, D=0, А=-3, В=0. Следовательно, подставляя найденные коэффициенты в разложение дроби на простейшие, получим

Продолжение

Интегрирование тригонометрических функций

Интегралы вида Если хотя бы одно из чисел m или n - нечетное положительное число, то отделяя от нечетной степени один сомножитель и выражая с помощью формулы оставшуюся четную степень через дополнительную функцию, приходим к табличному интегралу.

Примеры Вычислить. Отделим от нечетной степени косинуса один множитель, внесем под знак дифференциала синус и получим:

Продолжение 2. Интегралы вида где m и n – четные положительные числа, вычисляют с помощью формул понижения степени:

Пример

Продолжение 3. Интегралы вида вычисляют преобразованием произведения тригонометрических функций в сумму по формулам:

Пример Рассмотрим пример: =

Продолжение 4. Интегралы где вычисляют заменой Второй интеграл берут с помощью подстановки t=ctgx.

Пример Вычислим: Разложим интеграл на два интеграла..Получим

Продолжение 5. Такой же заменой можно брать интегралы целые числа одинаковой четности. Например,

Универсальная подстановка 6. Интегралы берут с помощью универсальной подстановки Откуда Например,

Продолжение –7. Универсальная подстановка приводит к громоздким выкладкам! Поэтому если R(sinx,cosx)=R(-sinx,-cosx), то удобнее пользоваться подстановкой tgx=t. Тогда

Пример

Интегрирование простейших иррациональностей

Иррациональность, содержащая квадратный трехчлен 1. Интегралы вида берут, выделяя полный квадрат и вводя новую переменную.

Продолжение 2. Интегралы вида вычисляют с помощью подстановки Интегралы вида вычисляют с помощью подстановки где n–наименьшее общее кратное чисел m и k.

Тригонометрические подстановки Интегралы вида вычисляют с помощью тригонометрических подстановок. 1.

Тригонометрические подстановки 2. 3.

Пример