Теория телетрафика часть 2 проф. Крылов В.В.

2 АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ ТЕЛЕТРАФИКА Андрей Андреевич Марков родился 14 июня В цикле работ, опубликованном в гг., заложил основы одной из общих схем естественных процессов, которые можно изучать методами математического анализа. Впоследствии эта схема была названа цепями Маркова и привела к развитию нового раздела теории вероятностей - теории случайных процессов.

©Крылов 3 Вероятностная модель СМО дискретная цепь Маркова однородная цепь Маркова неприводимая цепь Маркова Возвратное и невозвратное состояние Периодическое и апериодическое возвратное состояние Возвратное нулевое и возвратное ненулевое

©Крылов 4 Цепи Маркова Теорема 1. Состояния неприводимой цепи Маркова либо все невозвратные, либо все возвратные нулевые, либо все возвратные ненулевые. В случае периодической цепи все состояния имеют один и тот же период

©Крылов 5 Цепи маркова Для неприводимой и апериодической цепи Маркова всегда существуют предельные вероятности, не зависящие от начального распределения вероятностей все состояния цепи невозвратные или все возвратные нулевые, и тогда все предельные вероятности равны нулю и стационарного состояния не существует все состояния возвратные ненулевые и тогда существует стационарное распределение вероятностей

©Крылов 6 Цепи Маркова Состояние называется эргодическим, если оно апериодично и возвратно ненулевое. Если все состояния цепи Маркова эргодичны, то вся цепь называется эргодической. Предельные вероятности эргодической цепи Маркова называют вероятностями состояния равновесия, имея в виду, что зависимость от начального распределения вероятностей полностью отсутствует.

©Крылов 7 Диаграмма переходов

©Крылов 8 Решение примера

©Крылов 9 Уравнения Чепмена- Колмогорова.(Chapman - Kolmogorov)

©Крылов 10 Непрерывные цепи Маркова Случайный процесс X(t) с дискретным множеством значений образует непрерывную цепь Маркова, если Уравнение Чепмена – Колмогорова

©Крылов 11 Непрерывные цепи Маркова H(t) = [pij(t)] - матрица вероятностей перехода из состояния i в состояние j в момент времени t, а матрица Q называется матрицей интенсивностей переходов Интенсивности вероятностей переходов qij(t)

©Крылов 12 Переходы в процессе гибели- размножения

©Крылов 13 Уравнения процесса гибели- размножения

©Крылов 14 Диаграмма интенсивностей переходов

©Крылов 15 Уравнения равновесия

©Крылов 16 Решение уравнений равновесия

©Крылов 17 Система M/M/1

©Крылов 18 Стационарное распределение

©Крылов 19 График распределения

©Крылов 20 Зависимость среднего числа заявок и времени пребывания в системе

©Крылов 21 Система с несколькими серверами

©Крылов 22 Двухсерверная система

©Крылов 23 Сравнение нормированного времени пребывания в системе

©Крылов 24 m – серверная система

©Крылов 25 m-серверная система

©Крылов 26 С-формула Эрланга

©Крылов 27 Анализ системы M/M/1:N

©Крылов 28 Диаграмма интенсивностей переходов для системы с конечным буфером

©Крылов 29 Стационарные вероятности

©Крылов 30 Вероятность блокировки и пропускная способность

©Крылов 31 Средняя длина очереди и задержка в системе

©Крылов 32 Анализ систем с полными потерями

©Крылов 33 Стационарные вероятности

©Крылов 34 В-формула Эрланга

©Крылов 35 Модель Энгсета

©Крылов 36 Диаграмма интенсивностей переходов модели Энгсета

©Крылов 37 Параметры и решение

©Крылов 38 Стационарные вероятности

©Крылов 39 Формула Энгсета

©Крылов 40 Модель Молина Lost Calls Held (LCH)

©Крылов 41 Анализ системы M/G/1

©Крылов 42 Изменение незавершенной работы в СМО

©Крылов 43 Формула Полячека-Хинчина

©Крылов 44 Среднее число требований

©Крылов 45 Система M/M/1

©Крылов 46 Система M/D/1

©Крылов 47 Cистема G/G/1 (занятая)

©Крылов 48 Система G/G/1 (свободная)

©Крылов 49 Связанная марковская цепь

©Крылов 50 Решение (уравнение Линдли)

©Крылов 51 Решение уравнения Линдли

©Крылов 52 Приближенное решение

©Крылов 53 Приближенное решение

©Крылов 54 Верхняя граница,граница Маршалла

©Крылов 55 Нижняя граница для потоков с монотонностью

©Крылов 56 Уточненная нижняя граница

©Крылов 57 Графическое решение