Сочетания

Сочетания Определение 1 Сочетанием из n элементов по k называется всякая совокупность попарно различных k элементов, выбранных каким-либо способом из данных n элементов. Другими словами k-сочетание – это k- элементное подмножество n элементного множества. Пример. Дано множество. Составим 2- сочетания:

Сочетания Теорема 1 Число k- сочетаний n-элементного множества вычисляется по формуле Доказательство. Из каждого k-сочетания, переставляя его элементы всевозможными способами, получим k! размещений. Значит, Отсюда

Пример Сколькими способами можно выбрать 3 плитки шоколада из имеющихся 5 плиток? Решение. Задача сводится к вычислению числа сочетаний из 5 по 3

Свойства сочетаний 1) Доказательство: 2) Доказательство:

Свойства сочетаний 3) Доказательство: 4) Доказательство:

Бином Ньютона

Следствия из бинома Ньютона получается из бинома Ньютона при 1)Равенство 2) Равенство

Сочетания с повторениями

Сочетание с повторениями Определение 1 Сочетанием из n элементов по k называется всякая совокупность k элементов, выбранных каким-либо способом из данных n элементов. Пример: Дано множество А=. Составим 2- сочетания с повторениями:

Число сочетаний с повторениями Теорема 1. Число k-сочетание с повторениями n – элементного множества вычисляется по формуле

Пример В магазине продаются пирожные 4 сортов. Сколькими способами можно купить 7 пирожных? Решение. Используем формулу числа сочетаний с повторениями, так как покупка будет содержать пирожные повторяющихся сортов.

Порядок важен Порядок не важен С повторениями Без повторений Сводная таблица