Подобные треугольники. Подобные треугольники. Геометрия, 8 класс.

Урок 32. Пропорциональные отрезки. Рассмотрим пропорцию: Отрезки называются пропорциональными, если равны отношения их длин. КЕ Н Х А В РТ Решение задач: 533 (устно) 534.

Свойство биссектрисы треугольника. Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника. А В С К Решение задач: 536(а), 538. Домашнее задание: п.56, 536(б), 537.

Урок 33. Подобные треугольники. Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны, и стороны одного треугольника пропорциональны соответствующим сторонам другого треугольника. где k – коэффициент подобия. Говорят, что АВС ~ МРК А В С М Р К

541. А В С D E F ,44,4 5,2 7,6 15,6 22,8 13,2 Решение задач: 542. Домашнее задание: п.56-57, 540.

Урок 34. Теорема об отношении площадей подобных треугольников. ТЕОРЕМА. Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. где k – коэффициент подобия. Отношение периметров двух подобных треугольников равно коэффициенту подобия. А В С М Р К Решение задач: 545, 549. Домашнее задание: п , 544, 548.

Урок 35. Первый признак подобия треугольников. А В С А1А1 В1В1 С1С1 ТЕОРЕМА. Если 2 угла одного треугольника равны соответственно двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны. Доказательство: Так как углы А=А 1 и С=С 1, то угол В=В 1. Так как угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих эти углы. Следовательно, АВС ~ А 1 В 1 С 1

а а 6 x y Домашнее задание: п. 59, 553, 561.

Урок 36. Первый признак подобия треугольников. 551(а) A BC D E F ? ? 7

552(а) AB CD O

557(в). A B D C E 12 Домашнее задание: стр.160, вопросы 1- 5, п.56-59, 552(в).

Урок 37. Второй признак подобия треугольников. ТЕОРЕМА. Если 2 стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами равны, то такие треугольники подобны. Доказательство: Достаточно доказать, что углы С = С 1. Рассмотрим АВ 2 С, у которого углы 1=А 1, 2=С 1. А 1 В 1 С 1 ~АВ 2 С по 2 углам, следовательно Значит АВ 2 = АВ и АВ 2 С = АВС по 2 сторонам и углу между ними => угол С=2, но угол 2=С 1 => угол С 1 = С => А 1 В 1 С 1 ~АВС по 2 углам Самостоятельная работа: стр.120, вариант А1,А2, 1. А1А1 В1В1 С1С1 А В С В2В2 12

Задача 1. D B O A C ?

Задача 2. DC O B A часть 3 части ? ? Домашнее задание: п. 59, 60, 559.

Задача. А В С К Р М Стороны треугольника АВС в 2,5 раза больше сторон треугольника КРМ, углы В = Р, АС + КМ = 4,2. Найти АС и КМ.

Урок 38. Третий признак подобия треугольников. ТЕОРЕМА. Если 3 стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны. Доказательство: Достаточно доказать, что углы А = А 1. Рассмотрим АВ 2 С, у которого углы 1=А 1, 2=С 1. А 1 В 1 С 1 ~АВ 2 С по 2 углам, следовательно Но мы знаем, что Значит АВ 2 = АВ, СВ 2 =СВ и АВ 2 С = АВС по 2 сторонам и углу между ними => угол А=1, но угол 1=А 1 => угол С 1 = С => А 1 В 1 С 1 ~АВС по 2 признаку А1А1 В1В1 С1С1 А В С В2В2 12

Задачи. 1. Подобны ли АВС и КРМ, если АВ = 1 м, АС = 2 м, ВС = 1,5 м, КР = 8 дм, КМ = 16 дм, РМ = 12 дм. 2. Стороны треугольника равны 0,8 м, 1,6 м, 2 м. Найти стороны подобного ему треугольника, периметр которого равен 5,5 м. Домашнее задание: п , 560.

Математический диктант. 1. Третий признак подобия треугольников. 2. Второй признак подобия треугольников. 3. У двух треугольников по одному равному углу. Какого условия недостает, чтобы треугольники были подобны по 1 признаку? 4. Стороны одного треугольника равны 3 см, 6 см и 7 см, а 2 стороны подобного ему треугольника равны 15 см и 35 см. Найти третью сторону. 5. Соответствующие катеты двух подобных треугольников 6 дм и 18 дм. Найти гипотенузу меньшего треугольника, если гипотенуза большего 27 дм. 1. Первый признак подобия треугольников. 2. Третий признак подобия треугольников. 3. У двух треугольников по одному равному углу. Какого условия недостает, чтобы треугольники были подобны по 2 признаку? 4. Соответствующие катеты двух подобных треугольников 5 дм и 10 дм. Найти гипотенузу большего треугольника, если гипотенуза меньшего 7 дм. 5. Стороны одного треугольника равны 15 см, 35 см и 30 см, а 2 стороны подобного ему треугольника равны 6 см и 7 см. Найти третью сторону.

Ответы. 1. По 3 пропорциональным сторонам. 2. По 2 пропорциональным сторонам и углу между ними. 3. Пара равных углов см. 5.9 дм. 1. По 2 равным углам. 2. По 3 пропорциональным сторонам. 3. Пропорциональност ь сторон угла дм. 5.3 м.

Подобие прямоугольных треугольников. Два прямоугольных треугольника подобны, если: 1. У них есть по равному острому углу. 2. Катеты одного треугольника пропорциональны катетам другого треугольника. 3. Гипотенуза и катет одного треугольника пропорциональны гипотенузе и катету другого треугольника.

Задача. A BC D O Доказать, что ABCD – трапеция.

554. A B M C D 8 3,63,9 5 Домашнее задание: п , Стр. 160, вопросы 1-7, задача Задача. Продолжение боковых сторон АВ и CD трапеции ABCD пересекаются в точке Е. Найти стороны АЕD, если АВ = 5 см, ВС = 10 см, АD = 15 см, СD = 8 см.

Урок 39. Средняя линия треугольника. ТЕОРЕМА. Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны. Доказательство: АВС ~ КВР, так как угол В-общий, а стороны АВ и КВ, СВ и РВ пропорциональны => угол А=ВКР, но это соответственные углы => КР ll АС. А В С КР Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон. ТЕОРЕМА. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Решение задач А ВС D M O 18 Домашнее задание: п. 62, 566.

Математический диктант. 1. Две стороны треугольника соединили отрезком, непараллельным третьей стороне. Является ли этот отрезок средней линией треугольника? 2. Сторона АВ АВС равна 6 см. Чему равна средняя линия треугольника, параллельная этой стороне? 3. Точки М, Р и О – середины сторон АВС. Найти стороны АВС, если стороны МРО равны 3 см, 4 см и 5 см. 4. Концы отрезка АВ лежат на двух сторонах треугольника, а длина этого отрезка равна половине третьей стороны. Обязательно ли этот отрезок является средней линией треугольника? 1. Точки А и В являются серединами двух сторон треугольника. Как называется отрезок АВ? 2. Средней линией АВС, параллельная стороне ВС, равна 4 см. Найти сторону ВС. 3. Точки А, В, С – середины сторон МРО. Найти периметр АВС, если отрезки МР, РО и МО равны 3 дм, 4 дм и 5 дм. 4. Концы отрезка КР лежат на двух сторонах треугольника, он параллелен третьей стороне треугольника и равен ее половине. Является ли КР средней линией?

Ответы. 1. Нет 2. Средняя линия 3.24 см 4. Нет 1. Средняя линия 2.8 см 3.6 дм 4.Нет

Задачи. 1.Дано: Р АВС = 12 см Найти: Р МРО А В С М РО 2. Дано: AD=2BC, MB=MK, NC=NK, BC=6 см Найти PQ A P BC Q D MN 6 3. Дано: АС=10 см, BD=8 см Найти Р MNPK A B C D K M N P

Урок 40. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике. Признак подобия прямоугольных треугольников. Два прямоугольных треугольника подобны, если у них есть по равному острому углу. Отрезок XY называется средним пропорциональным (средним геометрическим) для отрезков АВ и CD, если Свойство 1. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу. Свойство 2. Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу. А С В Н Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, делит треугольник на 2 подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику. с bcbc acac ab h

Решение задач: 572, 575, 577. Домашнее задание: стр.160, вопросы 8-11, принести циркуль, 576, 578-в общую тетрадь. Проверочная работа. стр. 124, вариант А1, А2, задачи 1, 2.

Урок 42. Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника. А В С Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе. Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему. Тангенс угла равен отношению синуса к косинусу этого угла. α β

Основное тригонометрическое тождество. Решение задач: 591(а,б), 592(а,в,д), 593(а,в). Домашнее задание: п.66, 593(б,г), 592(б,г,е), 591(в,г).

Урок 43. Значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30°, 45°, 60°. А В С 30° 60°

Урок 43. Значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30°, 45°, 60°. А ВС 45° Пусть АС = ВС = а, тогда а а

Решение задач. 1. Найти площадь равнобедренного прямоугольного треугольника с основанием 10 см и углом при основании 45°. 2. Найти катеты прямоугольного треугольника, гипотенуза которого 2 см, один из острых углов 30°. 3. В треугольнике АВС угол А=45°, угол С=60°, ВС=2 см. Найти АС Домашнее задание: п. 66, 67, 602.

Контрольная работа Средняя линия равнобедренного треугольника, параллельная боковой стороне, равна 13 см, а медиана, проведенная к основанию - 24 см. Найти среднюю линию, параллельную основанию треугольника. 2. Найти sin α и tg α, если cosα=8/ Найти синус, косинус тангенс большего острого угла прямоугольного треугольника с катетами 7 см и 24 см. 1. Средняя линия равнобедренного треугольника, параллельная основанию, равна 16 см, а биссектриса, проведенная к основанию - 30 см. Найти среднюю линию, парал-лельную боковой стороне треугольника. 2. Найти cos α и tg α, если sinα=5/ Найти синус, косинус тангенс меньшего острого угла прямоугольного треугольника с катетом 40 см и гипотенузой 41 см.