ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ГЕОМЕТРИИ ДЛЯ 10 КЛАССА ВЫПОЛНИЛА УЧЕНИЦА 10Б КЛАССА ГИМНАЗИИ 4 ИНШИНА МАША

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПРЯМЫЕ В ПРОСТРАНСТВЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Две прямые в пространстве называются взаимно перпендикулярными,если угол между ними равен 90°. Перпендикулярные прямые могут пересекаться ( а и в) и скрещиваться (а и с)

ЛЕММА О ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ДВУХ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ К ТРЕТЬЕЙ ПРЯМОЙ Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой,то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой Дано: а ll в, а c Доказать: в c

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО 1)Через произвольную точку М пространства,не лежащую на данных прямых,проведем прямые МА и МС, параллельные соответственно прямым а и с. Так как а c, то АМС =90 параллельные соответственно прямым а и с. Так как а c, то АМС =90 2)По условию в ll а, а по построению а ll МА,потому в ll МА. Итак, прямые в и с параллельны соответственно прямым МА и МС, угол между которыми равен 90 Это означает, что угол между прямые в и с параллельны соответственно прямым МА и МС, угол между которыми равен 90 Это означает, что угол между прямыми в и с также равен 90 прямыми в и с также равен 90

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО 1) МА II a, a II в => MA II в 2) а c, MC II C => MA MC 3) MA MC, MA II в, МС II C => в С.

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ К ПЛОСКОСТИ ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Прямая называется перпендикулярной к плоскости,если она перпендикулярна к любой прямой,лежащей в этой плоскости Перпендикулярность прямой и плоскости обозначается: а α. Если прямая перпендикулярна к плоскости,то она пересекает её.

ТЕОРЕМЫ,УСТАНАВЛИВАЮЩИЕ СВЯЗЬ МЕЖДУ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬЮ ПРЯМЫХ И ИХ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬЮ К ПЛОСКОСТИ Терема 1:Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости,то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости Теорема 2: Если две прямые перпендикулярны к плоскости,то они параллельны между собой.

Дано: а а ll а 1 Доказать: а 1 Доказать: а 1 Доказательство: Проведем какую-нибудь прямую х в плоскости.Так как а,то а х.По лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей а 1 х.Таким образом,прямая а 1 перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости,т.е. а 1 прямой, лежащей в плоскости,т.е. а 1 ТЕОРЕМА О ДВУХ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ, ОДНА ИЗ КОТОРЫХ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНА К ПЛОСКОСТИ

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО 1) а, х => a x 2) a II a 1, a x => a 1 x => а 1 т.к. х – произвольная прямая плоскости 2) a II a 1, a x => a 1 x => а 1 т.к. х – произвольная прямая плоскости

Дано: а в Дано: а в Доказать: а ll в Доказательство: 1)Через какую-нибудь точку М прямой в проведём прямую в 1, параллельную прямой а. По предыдущей теореме в 1.Докажем, что в 1 совпадает с прямой в. Тем самым будет доказано,что а ll в. 2)Допустим,что прямые в и в 1 не совпадают.Тогда в плоскости содержащей прямые в и в 1,через точку М проходят две прямые, перпендикулярные к прямой с, по которой пересекаются плоскости и Но это невозможно,следовательно, а ll в А )Б) ТЕОРЕМА О ДВУХ ПРЯМЫХ, ПЕРПЕНДУКУЛЯРНЫХ К ПЛОСКОСТИ

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО 1) Пусть в не II а. Проведем в 1 II а (М в, М в 1 ) 2) в, с => в с 3) а, с => а с 4) а с, в 1 II а => в 1 с 5) в с, в 1 с, М в, М в 1 => в в 1 6) в 1 II а, в в 1 => а ll в

ПРИЗНАК ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ ТЕОРЕМА: Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым,лежащим в плоскости,то она перпендикулярна к этой плоскости Дано: а р, а q,р Дано: а р, а q,р q р q=0 Доказать: а Доказать: а

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: Докажем,что прямая а перпендикулярна к произвольной прямой m плоскости. Рассмотрим случай,когда прямая m проходит через точку О.Проведем через точку О прямую l,параллельную прямой m.Отметим на прямой точки А и В так,чтобы точка О была серединой отрезка АВ,и проведем в плоскости прямую,пересекающую прямые p, q и l соответственно в точках Р,Q и L. Так как прямые p и q - серединные перпендикуляры к отрезку АВ, то АР=ВР и АQ=ВQ. Следовательно, АРQ= BPQ по трём сторонам. Поэтому APQ= BPQ. Рассмотрим АРL и BPL.Они равны по двум сторонам и углу между ними (АР=ВР,PL- общая сторона, APL= BPL), поэтому AL=BL. Но это означает, что треугольник АВL равнобедренный и его медиана LO является высотой, т.е. l а.Так как и l ll m, то m а (по лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей). Итак, прямая перпендикулярна к любой прямой m плоскости, т.е. а а. Рассмотрим теперь случай,когда прямая не проходит через точку О. Проведем через точку О прямую а 1, параллельную прямой а. По упомянутой лемме а 1 p и а 1 q, поэтому по доказанному в первом случае а 1. Отсюда (по теореме о двух параллельных прямых,одна из которых перпендикулярна плоскости) следует, что а а.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО Этап 1: 1) АО = ВО 2) АР =ВР, AQ = BQ 3) APQ = BPQ => APQ = BPQ 4) APL = BPL => AL = BL 5) Медиана OL ABL – высота, т.е. АВ OL или а OL Этап 2: m – произвольная прямая плоскости OL II m. Т.к. а OL, то а m => а

ТЕОРЕМА О ПРЯМОЙ,ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОЙ К ПЛОСКОСТИ ТЕОРЕМА: Через любую точку пространства проходит прямая,перпендикулярная к данной плоскости,и притом только одна Дано: М, Дано: М, Доказать: 1)через точку М проходит прямая, перпендикулярная прямая, перпендикулярная 2)такая прямая только одна 2)такая прямая только одна

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: 1) Проведем в плоскости произвольную прямую а и рассмотрим плоскость, проходящую через точку М и перпендикулярную к прямой а. Обозначим буквой в прямую, по которой пересекаются плоскости и. В плоскости через точку М проведем прямую с, перпендикулярную к прямой в. Прямая с и есть искомая прямая. В самом деле, она перпендикулярна к плоскости, так как перпендикулярна к двум пересекающимся прямым этой плоскости( с в, с а, т.к. а ). 2) Предположим, что через точку М проходит ещё одна прямая (обозначим её через с 1 ), перпендикулярная к плоскости. Тогда с ll с 1, что невозможно, так как прямые с и с 1 пересекаются в точке М. Таким образом, через точку М проходит только одна прямая, перпендикулярная к плоскости.

ПЛАН ПОСТРОЕНИЯ 1) а: а 1) а: а 2) М 3) в 4) с: М С, с в Доказательство: 1) М с 2) с в по построению 3) с а, т.к. =>=>=>=> с (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости) 4) с – единственная прямая

ПЕРПЕНДИКУЛЯР И НАКЛОННАЯ НА РИСУНКЕ : АН – перпендикуляр,проведенный из точки А к плоскости АН – перпендикуляр,проведенный из точки А к плоскости Н – основание перпендикуляра АМ – наклонная, проведенная из точки А к плоскости АМ – наклонная, проведенная из точки А к плоскости М – основание наклонной НМ – проекция наклонной на плоскость НМ – проекция наклонной на плоскость Проекцией точки на плоскость называется основание перпендикуляра, проведённого из этой точки к плоскости Проекцией прямой на плоскость, не перпендикулярную к этой прямой, является прямая

СВОЙСТВА НАКЛОННЫХ 1 Перпендикуляр всегда короче любой наклонной, проведенной к плоскости из той же точки 2 У равных наклонных, проведенных к плоскости из одной точки, проекции равны 3 Из двух наклонных, проведенных из одной точки, больше та, у которой проекция больше

ТЕОРЕМА О ТРЁХ ПЕРПЕНДИКУЛЯРАХ ТЕОРЕМА: Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к её проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной Дано:М а, АН-перпендикуляр,АМ - наклонная,НМ - проекция наклонной, а НМ Доказать: а АМ Доказательство:

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: Прямая а перпендикулярна к плоскости АНМ, т.к. она перпендикулярна к двум пересекающимся прямым АН и МН( а перпендикулярна к двум пересекающимся прямым АН и МН( а НМ по условию и а АН, т.к. АН ). Отсюда следует, что прямая а перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости АМН, в частности а АМ.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО 1) АН а => а АН а НМ (по условию) а НМ (по условию) =>=>=>=> а АНМ) 2) а АНМ), АМ АНМ) => а АМ

УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТЬЮ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Углом между прямой и плоскостью,пересекающей эту прямую и не перпендикулярной её, называется угол между прямой и её проекцией на плоскость если прямая параллельна плоскости если прямая параллельна плоскости 90 если прямая перпендикулярна плоскости 90 если прямая перпендикулярна плоскости

ДВУГРАННЫЙ УГОЛ ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Двугранным углом называется фигура, образованная прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей а, не принадлежащим одной плоскости Двугранный угол может быть острым, тупым и прямым

линейный угол ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Линейный угол -- угол, стороны которого являются лучами, перпендикулярными к ребру двугранного угла, а вершина лежит на его ребре Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его линейного угла. Все линейные углы двугранного угла равны ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 °.

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПЛОСКОСТЕЙ ПРИЗНАК ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПЛОСКОСТЕЙ : Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны СЛЕДСТВИЕ ИЗ ПРИЗНАКА ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПЛОСКОСТЕЙ: Плоскость, перпендикулярная к прямой, по которой пересекаются две данные плоскости, перпендикулярна к каждой из этих плоскостей

ПРИЗНАК ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПЛОСКОСТЕЙ 1)Плоскости и пересекаются по некоторой прямой АС, причем АВ АС, так как по условию АВ, т.е. прямая АВ перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости. 2)Проведём в плоскости прямую АD, перпендикулярную к прямой АС. Тогда угол BAD -- линейный угол двугранного угла, образованного при пересечении плоскостей и. Но BAD=90 (так как АВ ). Следовательно, угол между плоскостями и равен 90, т.е.. BAD=90 (так как АВ ). Следовательно, угол между плоскостями и равен 90, т.е.. Дано: АВ, АВ Дано: АВ, АВ Доказать: Доказать: Доказательство:

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО 1) АВ, АС => АВ АС ( АС) 2) АВ, АD => АВ АD (АD AC) 3) ( ) = BAD = 90 => 3) ( ) = BAD = 90 =>