Основы теории управления Кафедра ИСКТ Кривошеев В.П. Передаточные функции

План лекций 2 Типы соединения звеньев Последовательное соединение Параллельное соединение Встречно-параллельное соединение Формула Мейсона Частотные характеристики Амплитудно-фазовая характеристика Связь АФХ с передаточной функцией Логарифмические частотные характеристики

3 Динамические свойства отдельного звена или системы управления могут описываться передаточной функцией. Передаточная функция есть отношение выходной переменной в преобразованном по Лапласу виде при нулевых начальных условиях к входной переменной при тех же условиях в виде: Передаточная функция

4 При наличии большого числа элементов в системе пользуются структурным методом: уравнение всей системы получают на основе алгоритмической схемы при помощи нескольких простых правил. Метод состоит в том, что по известным передаточным функциям отдельных элементов системы, представляющих собой детектирующие звенья однонаправленного действия, используя правила последовательного, параллельного и встречно- параллельного (с обратной связью) соединений звеньев, получают эквивалентную передаточную функцию, или передаточную функцию эквивалентного звена. Передаточная функция

5 Здесь выход предыдущего звена является входом в последующее. Пусть имеется N последовательно соединенных звеньев: Рис. 1. Последовательное соединение звеньев Типы соединений. Последовательное соединение

6 Начнем рассмотрение с последнего звена (1) далее (2) Из (2) найдём : (3) Типы соединений. Последовательное соединение

7 Подставляя (3) в (1) получим для двух последних звеньев: (4) Распространяя этот подход до первого звена включительно, окончательно получим: (5) Передаточная функция эквивалентного звена, представляющего N последовательно соединенных звеньев, равна произведению передаточных функций этих звеньев. Типы соединений. Последовательное соединение

8 Параллельным соединением звеньев называется такое соединение, при котором на выход всех элементов поступает одно и то же воздействие, а их выходные величины алгебраически суммируются: Рис. 2. Параллельное соединение звеньев Типы соединений. Параллельное соединение

9 Введем обозначения - узел разветвления сигнала - узел суммирования сигналов Типы соединений. Параллельное соединение

10 Запишем уравнение движения в преобразованном по Лапласу виде Или (6) Передаточная функция эквивалентного звена, представляющего N параллельно соединенных звеньев, равна сумме передаточных функций этих звеньев. Типы соединений. Параллельное соединение

11 Встречно-параллельным соединением двух элементов называют такое соединение, при котором выходной сигнал второго элемента поступает на выход второго, а выходной сигнал второго элемента алгебраически суммируется с общим входным сигналом Рис. 2. Встречно-параллельное соединение Типы соединений. Встречно-параллельное соединение

12 Запишем уравнение движения: (7) (8) (9) Типы соединений. Встречно-параллельное соединение

13 Подставляя (8) и (9) в (7), получим: (10) Приведя подобные члены, получим: (11) Из (11): (12) Типы соединений. Встречно-параллельное соединение

14 Знак (-) для положительной обратной связи, когда Знак (+) для отрицательной обратной связи, когда Типы соединений. Встречно-параллельное соединение

15 Элемент, в котором направление передачи сигнала совпадает с направлением передачи общего сигнала, называют элементом прямой цепи. Элемент, в котором направление передачи сигнала противоположно направлению передачи общего сигнала, называют элементом обратной связи. Передаточная функция эквивалентного звена при встречно-параллельном соединении звеньев равна отношению передаточной функции звена прямой цепи к знаменателю, представляющему собой алгебраическую сумму единицы и произведения передаточных функций звена прямой цепи и звена обратной связи. Типы соединений. Встречно-параллельное соединение

16 Передаточная функция замкнутой системы, представленная в виде эквивалентной одноконтурной схемы, имеет вид: (13) где – эквивалентная передаточная функция звеньев, находящихся в прямой цепи между рассматриваемым входом и выходом; - эквивалентная передаточная функция звеньев, образующих обратную (по отношению к рассматриваемой прямой цепи) связь. Типы соединений. Встречно-параллельное соединение

17 Главная обратная связь в любой автоматической системе управления всегда отрицательна. Поэтому в знаменателе (13) взят знак «+». В знаменателе передаточной функции (13) записано произведение эквивалентных передаточных функций, представляющее собой произведение передаточных функций всех звеньев, последовательно соединенных друг с другом в главном контуре системы, то есть (14) Передаточная функция (14) называется передаточной функцией разомкнутой системы и обозначается или Типы соединений. Встречно-параллельное соединение

18 В общем случае к системе может быть приложено несколько воздействий Рис. 3. Система управления с несколькими внешними воздействиями Типы соединений. Встречно-параллельное соединение

19 Однако по каждому каналу передачи воздействия на выходную величину Y в передаточной функции замкнутой системы знаменатель будет определен одним и тем же соотношением вида, а в числителе передаточная функция будет определяться произведением передаточных функций звеньев, заключенных между узлом суммирования в точке приложения воздействия и узлом разветвления для выходной величины. В этом случае для линейных систем, подчиняющихся принципу суперпозиции, выходная величина равна: (15) Типы соединений. Встречно-параллельное соединение

20 Перепишем соотношение (15) в виде (16) Выражение есть собственный оператор системы. Если приравнять его к нулю, то получим характеристическое уравнение одноконтурной системы: (17) Типы соединений. Встречно-параллельное соединение

21 При более сложном соединении звеньев для получения передаточной функции системы по выбранному каналу пользуются правилами структурных преобразований Типы соединений. Правила структурных преобразований Перемещение узлов разветвления Перемещение узлов суммирования сигналов Прямое перемещение узла разветвления через звено Обратное перемещение узла разветвления через звено

22 При более сложном соединении звеньев для получения передаточной функции системы по выбранному каналу пользуются правилами структурных преобразований Типы соединений. Правила структурных преобразований Прямое перемещение узла суммирования через звено Обратное перемещение узла суммирования через звено Перенесение узла суммирования через узел разветвления Перенесение узла разветвления через узел суммирования

23 Для многоконтурных схем, более сложных чем рассмотренная, процедуры предварительных переносов и последовательного свертывания оказываются достаточно трудоемкими. Поэтому для таких схем целесообразно использовать формулу Мейсона: (18) где - передаточная функция i-го прямого канала, связывающего вход с выходом, m - число таких каналов; – специальный полином, который определенным образом характеризует совокупность всех замкнутых цепей системы, содержащих обратные связи Формула Мэйсона

24 - вычисляется как сумма передаточных функций разомкнутых контуров этих цепей и произведений передаточных функций разомкнутых контуров пар, троек и т.д. не соприкасающихся друг с другом цепей с обратными связями: (19) Формула Мэйсона

25 Полином составляется по правилу, аналогичному (19), но только для цепей с обратными связями, не соприкасающихся с i-м прямым каналом. Знаки всех сигналов прямых каналов и обратных связей учитываются в формулах (18) и (19) перед соответствующими передаточными функциями. Формула Мейсона особенно удобна для применения, когда структура системы представлена в виде сигнального графа Формула Мэйсона

26 Проиллюстрируем использование формулы на примере системы, алгоритмическая схема которой представлена на рис. 4. В дальнейшем в передаточных функциях аргумент S опускаем. Рис. 4. Пример структурных преобразований Формула Мэйсона

27 Соответствующий ей сигнальный граф показан на рис. 5 Знаки сигналов перед сумматорами С и В учтены на графе вместе с передаточными функциями и Рис. 5. Сигнальные графы Формула Мэйсона

28 Ниже изображены графы двух прямых каналов (рис. 6) и трех замкнутых цепей (рис. 7). Рис. 6. Сигнальный граф двух прямых каналов Рис. 7. Сигнальный граф трех замкнутых цепей Формула Мэйсона

29 Т.к. все контуры в заданном примере соприкасаются (имеют общие ветви или вершины), то парные произведения и триады в формуле отсутствуют. Нет также в сигнальном графе контуров, не соприкасающихся с прямыми каналами, поэтому и Формула Мэйсона

30 Таким образом: (20) Формула Мэйсона

31 Определим передаточную функцию системы, изображенной на рис. 5 методом структурных преобразований. Перенесем сумматор А через и сумматор В: Формула Мэйсона

32 Теперь перенесем узел разветвления через звено и через узел разветвления: Формула Мэйсона

33 Определим передаточную функцию эквивалентного звена, включающего звенья с,, : Определим эквивалентного звена, включающего звенья с,, Формула Мэйсона

34 Теперь имеем (21) Формула Мэйсона

35 Частотные характеристики описывают передаточные свойства звеньев (элементов) и систем в режиме установившихся гармонических колебаний, вызванных внешним гармоническим воздействием Рассмотрим прохождение гармонического сигнала через элемент (рис. 8). Рис. 8. Прохождение гармонического сигнала через элемент Частотные характеристики Амплитудно-фазовая характеристика

36 Входной гармонический сигнал преобразуется как по модулю (становится равным ), так и по фазе (рис. 9). Фазовый сдвиг определяется величиной, определяемой выражением: (1) Рис. 9. Преобразование гармонического сигнала по модулю и по фазе Частотные характеристики Амплитудно-фазовая характеристика

37 Амплитуда выходного сигнала зависит от амплитуды входного сигнала и от частоты, то есть, фазовый сдвиг зависит только от частоты, то есть. Более удобно при описании передаточных свойств элемента рассматривать отношение амплитуд выходного и входного сигналов. Частотные характеристики Амплитудно-фазовая характеристика

38 Зависимость отношения амплитуд выходного и входного сигналов от частоты называется амплитудной частотной характеристикой (АЧХ). Ее обозначают Рис. 10. Амплитудная частотная характеристика Частотные характеристики Амплитудно-фазовая характеристика

39 Зависимость фазового сдвига от частоты между выходной и входной переменными называется фазовой частотной характеристикой (ФЧХ), и она обозначается Рис. 11. Фазовая частотная характеристика Частотные характеристики Амплитудно-фазовая характеристика

40 АЧХ показывает, как хорошо пропускает элемент сигналы различной частоты. ФЧХ показывает, какое отставание или опережение выходного сигнала по фазе создает элемент при различных частотах. Амплитудную частотную и фазовую частотную характеристики можно объединить в одну общую: амплитудно-фазовую частотную характеристику (АФЧХ) или (АФХ) Частотные характеристики Амплитудно-фазовая характеристика

41 Амплитудно-фазовая частотная характеристика обозначается и представляет собой функцию комплексного переменного, модуль которой равен, а аргумент равен. АФХ, как и любая комплексная величина, может быть представлена в показательной: (2) или в алгебраической форме: (3) где - проекция вектора на вещественную ось, а – проекция вектора на мнимую ось. Частотные характеристики Амплитудно-фазовая характеристика

42 называется вещественной частотной характеристикой, а – мнимой частотной характеристикой. Рис. 12. Амплитудно-фазовая характеристика Частотные характеристики Амплитудно-фазовая характеристика

43 АФХ есть изображение по Фурье импульсной переходной функции: (4) Обратное преобразование Фурье АФХ даст импульсную переходную функцию: (5) Аналитическое выражение для АФХ конкретного элемента можно получить из его передаточной функции подстановкой : (6) Частотные характеристики Связь АФХ с передаточной функцией

44 Представим передаточную функцию в виде отношения оператора воздействий и собственного оператора: (7) Тогда (8) отсюда (9) Частотные характеристики Связь АФХ с передаточной функцией

45 Покажем правомерность соотношения (6). Пусть на вход элемента поступает гармонический сигнал, а на выходе получают сигнал. Выразим, пользуясь формулой Эйлера: (10) Запишем входной (11) и выходной (12) сигнал в виде: (11) (12) Частотные характеристики Связь АФХ с передаточной функцией

46 Учитывая свойство суперпозиции линейного элемента, входная составляющая вызывает составляющую выходного сигнала Следовательно, передаточные свойства элемента можно определить только по одной из них: (13) Частотные характеристики Связь АФХ с передаточной функцией

47 Следовательно, передаточные свойства элемента можно определить только по одной из них: (14) или: (15) Частотные характеристики Связь АФХ с передаточной функцией

48 Смысл АЧХ и ФЧХ можно показать, используя уравнение Эйлера для выражения входной и выходной переменных. Представим эти переменные через модуль (16) и фазу(17) в виде: (16) (17) Теперь АФХ можно записать в виде Частотные характеристики Связь АФХ с передаточной функцией

49 Представляя из полученного выражения следует ранее приведённое определение, что амплитуда АФХ: есть отношение амплитуд выходного и входного сигналов на частоте, а фаза есть разность фаз между фазой выходной переменной и входной переменной на частоте. Частотные характеристики Связь АФХ с передаточной функцией

50 Предположим, что элемент описывается линейным дифференциальным уравнением n-го порядка (18) В дальнейшем будем полагать, что на вход элемента поступает сигнал, а на выходе получим сигнал Теперь возьмем производные Частотные характеристики Связь АФХ с передаточной функцией

51 Теперь возьмем производные при (19) при (20) и, подставляя их в дифференциальное уравнение элемента (18), получим (21) Частотные характеристики Связь АФХ с передаточной функцией

52 Уравнение (21) представим в виде отношения: (22) и перепишем с учетом (2) и (14): (23) Частотные характеристики Связь АФХ с передаточной функцией

53 Теперь преобразуем уравнение (18) по Лапласу и представим его в виде отношения: (24) Учитывая, что (25) и сравнивая выражения (23) с (24), устанавливаем связь амплитудно-фазовой характеристики с передаточной функцией: амплитудно-фазовая характеристика может быть получена из передаточной функции путем подстановки Частотные характеристики Связь АФХ с передаточной функцией

54 Отметим, что элемент (звено или система) называется минимально фазовым, если все корни числителя (нули) и все корни знаменателя (полюсы) в выражении (84) имеют отрицательные вещественные части. Во всех других случаях фазовой сдвиг будет иметь большее значение. Частотные характеристики Связь АФХ с передаточной функцией

55 При практических расчетах АСР удобно использовать частотные характеристики, построенные в логарифмической системе координат (логарифмические частотные характеристики – ЛЧХ). Они характеризуются большей линейностью и на определенных участках изменения частот могут быть заменены прямыми линиями и в целом представлены ломаными линиями. Причем отрезки прямых обычно можно построить при помощи простых правил. В логарифмической системе координат легко находить характеристики различных соединений элементов, т.к. умножению и делению обычных характеристик соответствует сложение и вычитание ординат логарифмических характеристик Частотные характеристики Логарифмические частотные характеристики

56 За единицу длины по оси частот ЛЧХ принимается декада. Декада – интервал частот, заключенный между произвольным значением и его десятикратным значением. Отрезок, соответствующий одной декаде, равен 1. Обычно в расчетах используют логарифмическую амплитудную частотную характеристику (ЛАЧХ), дБ, (1) ординаты которой измеряют в логарифмических единицах – белах или децибелах (0,1 бела), сокращенно дБ. Частотные характеристики Логарифмические частотные характеристики

57 Рис. 23. Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика Частотные характеристики Логарифмические частотные характеристики

58 Бел – единица измерения отношения мощности двух сигналов. Если мощность одного сигнала больше мощности другого в 10 раз, то эти мощности отличаются на 1 Б (lg10 = 1). Т.к. мощность сигнала пропорциональна квадрату амплитуды,то или При построении фазовой частотной характеристики логарифмический масштаб применяется только для оси абсцисс. Частотные характеристики Логарифмические частотные характеристики

Контрольные вопросы 59 Какой физический смысл имеет амплитудно-частотная характеристика? Какой физический смысл имеет фазочастотная характеристика? Каковы формы представления амплитудно-фазовой характеристики? Каков геометрический смысл амплитудно-фазовой характеристики? Как определить амплитудно-фазовую характеристику по выражению передаточной функции? В чём состоит преимущество логарифмических амплитудно- частотных характеристик перед обычными?

Рекомендуемая литература Кривошеев В.П. Основы теории управления: Конспект лекций. Часть 1. – Владивосток: Изд-во ВГУЭиС, – 112 с.

61 Использование материалов презентации Использование данной презентации, может осуществляться только при условии соблюдения требований законов РФ об авторском праве и интеллектуальной собственности, а также с учетом требований настоящего Заявления. Презентация является собственностью авторов. Разрешается распечатывать копию любой части презентации для личного некоммерческого использования, однако не допускается распечатывать какую-либо часть презентации с любой иной целью или по каким-либо причинам вносить изменения в любую часть презентации. Использование любой части презентации в другом произведении, как в печатной, электронной, так и иной форме, а также использование любой части презентации в другой презентации посредством ссылки или иным образом допускается только после получения письменного согласия авторов.