Основы теории управления Кафедра ИСКТ Кривошеев В.П. Устойчивость линейных систем

План лекций 2 Понятие о вынужденном и свободном движении Понятие устойчивости Прямой метод исследования устойчивости Алгебраический критерий устойчивости Гурвица Частотный критерий устойчивости Михайлова

3 Пусть имеем апериодическое звено, передаточная функция которого (1) Уравнение звена (2) есть линейное неоднородное уравнение 1-го порядка. Понятие о вынужденном и свободном движении

4 Его решение определяется суммой частного решения неоднородного уравнения y чрну и общего решения однородного уравнения y ору : y(t)= y чрну (t)+y ору (t) (3) y ору есть свободное движение, то есть движение без воздействия внешних сил (правая часть уравнения (2) равна 0). Это движение определяется только начальными условиями и динамическими свойствами самого объекта. Оно не зависит от внешних сил. Вторая часть y чрну описывает вынужденное движение. Она определяется видом внешнего воздействия на систему. Понятие о вынужденном и свободном движении

5 Найдем общее решение однородного уравнения: Запишем характеристическое уравнение. Его корень Понятие о вынужденном и свободном движении

6 Найдем частное решение неоднородного уравнения: Пусть, тогда (2) принимает вид : (4) Понятие о вынужденном и свободном движении

7 Применим метод вариации: (5) (6) и, подставив (5) и (6) в (4), получим: (7) Понятие о вынужденном и свободном движении

8 Подставив (7) в (5), получим: (8) Следовательно y чрну (t)=k Подставив в (8) начальное условие y(0)=0, получим: (9) Подставим (9) в (8): (10) Понятие о вынужденном и свободном движении

9 На рис. 1 показаны обе составляющие решения дифференциального уравнения (2). Составляющую решения в виде общего решения однородного уравнения - свободное движение, а составляющая в виде частного решения неоднородного уравнения - вынужденное движение. Рис. 1. Составляющие решения неоднородного дифференциального уравнения Понятие о вынужденном и свободном движении

10 В общем случае, как было отмечено выше, дифференциальное уравнение звена или системы имеет вид (11) Понятие о вынужденном и свободном движении

11 Его общее решение (12) где определяется левой частью уравнения (11): (13) Его характеристическое уравнение (14) Понятие о вынужденном и свободном движении

12 Рис. 2. Свободное движение системы управления Понятие устойчивости

13 Линейная динамическая система называется устойчивой, если после снятия возмущений при, то есть движение затухает (рис. 2, а). Система называется неустойчивой, если после снятия возмущений свободное движение стремится к, то есть при, (рис. 70, б). Система называется нейтральной, если после снятия возмущений свободное движение стремится к какому-то пределу M, то есть, где (рис. 70, в). Понятие устойчивости

14 Так как в понятие устойчивости системы входит только факт наличия или отсутствия затухания переходного процесса (независимо от быстроты затухания переходного процесса), то устойчивость линейной системы не зависит от правой части дифференциального уравнения (11) и полностью определяется его левой частью, то есть (13). Понятие устойчивости

15 Уравнение движения системы представлено уравнением (11). Для анализа устойчивости исследуем уравнение (13). Его решение: где – корни характеристического уравнения (14). Прямой метод исследования устойчивости

16 Рассмотрим случаи для корней различного вида. 1) Если все, где действительно положительное число, то и при t >, y(t) >0, то есть система устойчива. 2) Если хотя бы один корень положительный, например, то и при t >, >, то есть система неустойчива. Прямой метод исследования устойчивости

17 Рассмотрим случаи для корней различного вида. 3) комплексные числа, то есть. В этом случае Прямой метод исследования устойчивости

18 Поскольку не может быть больше определённой конечной величины, то при t >, y(t) >0 (рис. 3). Рис. 3. Свободное движение системы для случая комплексных корней с отрицательной действительной частью Прямой метод исследования устойчивости

19 Рассмотрим случаи для корней различного вида. 4) Нетрудно показать, что в этом случае свободное движение системы расходится (рис. 4). Из проведённого анализа следует, что линейная динамическая система будет устойчива тогда и только тогда, когда действительная часть корней характеристического уравнения будет отрицательной. Это есть необходимое и достаточное условие устойчивости линейной системы управления. Покажем, что в устойчивой системе управления все коэффициенты её характеристического уравнения положительные. Прямой метод исследования устойчивости

20 Представим характеристическое уравнение в виде: в устойчивой системе действительная часть корня < 0. Рис. 4. Свободное движение системы для случая комплексных корней с положительной действительной частью Прямой метод исследования устойчивости

21 Для случая действительных корней Поскольку все >0, то умножение и сложение положительных величин есть выражение с положительными коэффициентами. Для случая r парно сопряженных корней, имеем или то есть опять операции умножения и сложения осуществляются над положительными числами. Прямой метод исследования устойчивости

22 Таким образом, необходимым условием устойчивости системы является наличие только положительных коэффициентов её характеристического уравнения. Рассмотрим случаи положения системы на границе устойчивости: 1) Один из корней уравнения (205) равен 0, Уравнение свободного движения в этом случае Прямой метод исследования устойчивости

23 Его решение Система в этом случае устойчива не относительно регулируемой величины, а относительно её производной (скорости её изменения). Такую систему называют нейтрально устойчивой. Прямой метод исследования устойчивости

24 2) Одна из пары корней имеет чисто мнимую часть: Граница устойчивости такого типа называется колебательной. Система в этом случае будет иметь незатухающие гармонические колебания с постоянной амплитудой. 3) Случай бесконечного корня:, а. Это соответствует понижению порядка дифференциального уравнения на 1 и имеет место при. Граница устойчивости 3-го типа встречается сравнительно редко. Прямой метод исследования устойчивости

25 Следует отметить, что ни одна реальная система управления не является строго линейной. Линейные характеристики звеньев и линейные дифференциальные уравнения получаются путём линеаризации реальных характеристик и уравнений.. Прямой метод исследования устойчивости

26 Ляпуновым доказано, что если линеаризованная система устойчива, то реальная система при малых отклонениях также устойчива; если линеаризованная система неустойчива, то реальная система тоже неустойчива; если линеаризованная система нейтральная или находится на колебательной границе устойчивости, то судить об устойчивости реальной системы затруднительно, так как малые нелинейные члены могут коренным образом изменить вид переходного процесса, сделав систему устойчивой или неустойчивой. Прямой метод исследования устойчивости

27 Недостатком прямого метода исследования устойчивости системы является необходимость вычисления корней характеристического уравнения, что связано с определёнными трудностями. Существуют критерии устойчивости, которые позволяют, не решая уравнения, ответить на вопрос: устойчива или неустойчива система управления. Прямой метод исследования устойчивости

28 Исходной информацией для использования этого критерия является характеристическое уравнение исследуемой системы (14). Составляется квадратная матрица Гурвица размерностью. Первая строка матрицы Гурвица составляется из коэффициентов уравнения (14), начиная со второго, через один. Вторая строка составляется из коэффициентов уравнения (14), начиная с первого, через один. Элементы каждой последующей строки формируются из коэффициентов, имеющих индекс на единицу ниже индекса элемента в соответствующем столбце вышележащей строки. Алгебраический критерий устойчивости Гурвица

29 Матрица Гурвица представлена на рис. 5. Рис. 5. Матрица Гурвица Алгебраический критерий устойчивости Гурвица

30 Определение. Чтобы линейная система уравнений была устойчива, необходимо и достаточно положительности диагональных миноров матрицы Гурвица при условии. Можно показать, что для уравнений первого и второго порядков условием устойчивости, по Гурвицу, является положительность их коэффициентов. Для уравнения третьего порядка матрица Гурвица Алгебраический критерий устойчивости Гурвица

31 Условия устойчивости: (15) или (16) или (17) Алгебраический критерий устойчивости Гурвица

32 Из анализа условий (15) … (17) следует, что для устойчивости системы управления, имеющей характеристическое уравнение (15), кроме положительности коэффициентов уравнения (15) требуется выполнение условия (14). Условие (14) удобно формулировать следующим образом: произведение «внутренних» коэффициентов характеристического уравнения должно быть больше произведения «внешних» коэффициентов этого уравнения. Алгебраический критерий устойчивости Гурвица

33 Как и при использовании критерия Гурвица исходной информацией для использования критерия Михайлова является характеристическое уравнение исследуемой системы (14). Здесь применяется геометрическая иллюстрация траектории движения конца вектора Михайлова – годограф Михайлова. Частотный критерий устойчивости Михайлова

34 На основе характеристического уравнения замкнутой системы (14) вводится в рассмотрение некоторая функция комплексного переменного, полученная заменой : (18) Функцию (18) можно представить в виде: (19) На комплексной плоскости вектор опишет при изменении от 0 до кривую – годограф Михайлова. Частотный критерий устойчивости Михайлова

35 В основе критерия Михайлова заложен принцип аргумента вектора (18). Характеристическое уравнение (14) представим в известном виде: (20) Выражение (210) можно записать как (21) Теперь (21) выразим через модуль и фазу (аргумент): (22) где (23) Частотный критерий устойчивости Михайлова

36 Проанализируем изменение составляющей аргумента при для случаев с различными типами корней. Случай действительного отрицательного корня: Поведение вектора для этого случая показано на рис. 6, а. В этом случае при изменении от 0 до угол поворота вектора составит Частотный критерий устойчивости Михайлова

37 Рис. 6. Изменение положения для случаев действительных(a) и комплексных(б) корней,лежащих в левой полуплоскости Частотный критерий устойчивости Михайлова

38 В случае пары комплексных сопряженных корней при изменении частоты от 0 до угол поворота вектора составит Поведение вектора для этого случая показано на рис. 6,б. Суммарный угол поворота от пары комплексных корней при этом составит Частотный критерий устойчивости Михайлова

39 Следовательно, если все корни характеристического уравнения исследуемой системы лежат в левой полуплоскости, что соответствует устойчивой системе управления, то суммарный угол поворота вектора (22) при изменении частоты от 0 до составит Очевидно, что если система находится на границе устойчивости, то для случая нулевого корня при изменении от 0 до Частотный критерий устойчивости Михайлова

40 Для случая пары чисто мнимых корней поворот вектора составит где для Поворот второго вектора составит Частотный критерий устойчивости Михайлова

41 Рассмотрим случай, когда замкнутая система неустойчива. В этом случае имеются корни, лежащие в правой полуплоскости. Если корень действительный, вектор при изменении от 0 до повернется на угол Если пара комплексных сопряженных корней лежит в правой полуплоскости, то Частотный критерий устойчивости Михайлова

42 Следовательно, если m из n корней характеристического уравнения лежат в правой полуплоскости, то суммарный угол поворота вектора при изменении от 0 до составит Частотный критерий устойчивости Михайлова

43 Определение. Для устойчивой системы управления n-го порядка необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова при изменении от 0 до, начинаясь с вещественной положительной полуоси, проходил против часовой стрелки последовательно через n – квадрантов. Частотный критерий устойчивости Михайлова

44 На рис. 7.1 приведен годограф Михайлова для различных случаев. Рис Примеры для случаев: а) устойчивой, б) неустойчивой систем Частотный критерий устойчивости Михайлова

45 На рис. 7.2 приведен годограф Михайлова для различных случаев. Рис Примеры для случаев: в) случай нейтральной системы с нулевым корнем, г)случай колебательной границы устойчивости Частотный критерий устойчивости Михайлова

46 Теперь обратимся к рис. 8, иллюстрирующему устойчивую САР. Для устойчивой САР наблюдается чередование корней действительной и мнимой частей (следствие из критерия Михайлова). Рис. 8. Изменение вещественной и мнимой составляющих вектора Михайлова при изменении частоты Частотный критерий устойчивости Михайлова

47 Недостатком алгебраических критериев и частотного критерия устойчивости является их ограниченность системами без транспортного запаздывания. В случае системы с транспортным запаздыванием их применение дает приближенную оценку устойчивости в пределах правомерности аппроксимации звена транспортного запаздывания рядом Паде. Частотный критерий устойчивости Михайлова

Контрольные вопросы 48 По какому виду движения системы оценивают ее устойчивость? В чем связь необходимого условия устойчивости с необходимым и достаточным условием устойчивости? Какую информацию о системе управления нужно иметь для применения алгебраического и частотного критериев устойчивости? Можно ли применять алгебраический и частотный критерии устойчивости для систем с транспортным запаздыванием? Какой принцип лежит в основе критерия устойчивости Михайлова? В чем сущность следствий из критерия Михайлова? При каких условиях по критерию Гурвица система управления находится на границах устойчивости: а) колебательной, б) нейтральной? При каких условиях по критерию Михайлова система управления находится на границах устойчивости: а) колебательной, б) нейтральной?

Рекомендуемая литература Кривошеев В.П. Основы теории управления: Конспект лекций. Часть 1. – Владивосток: Изд-во ВГУЭиС, – 112 с.

50 Использование материалов презентации Использование данной презентации, может осуществляться только при условии соблюдения требований законов РФ об авторском праве и интеллектуальной собственности, а также с учетом требований настоящего Заявления. Презентация является собственностью авторов. Разрешается распечатывать копию любой части презентации для личного некоммерческого использования, однако не допускается распечатывать какую-либо часть презентации с любой иной целью или по каким-либо причинам вносить изменения в любую часть презентации. Использование любой части презентации в другом произведении, как в печатной, электронной, так и иной форме, а также использование любой части презентации в другой презентации посредством ссылки или иным образом допускается только после получения письменного согласия авторов.