1 Состав цифровой системы управления. Особенности математического описания цифровой системы управления. Z-преобразование Кафедра ИСКТ Кривошеев В.П.

Состав цифровой системы управления. Особенности математического описания цифровой системы управления. Z-преобразование 2 Рис. 1. Типовая функциональная схема цифровой САУ

Состав цифровой системы управления. Особенности математического описания цифровой системы управления. Z-преобразование 3 Типовая функциональная схема цифровой системы (Рис. 1), которая состоит из преобразователей информации непрерывных сигналов в код (НК), цифровой вычислительной машины (ЦВМ), обратного преобразователя (КН), осуществляющего преобразование кода в непрерывный сигнал, и непрерывного объекта управления (ОУ).

Состав цифровой системы управления. Особенности математического описания цифровой системы управления. Z-преобразование 4 В процессе преобразования непрерывных сигналов в цифровые происходит дискретизация этих сигналов, то есть осуществляется выборка непрерывных сигналов, соответствующих дискретным моментам времени (обычно выборка производится через равные промежутки времени Т). В процессе преобразования сигналов в цифровую форму происходит также их квантование по уровню. В результате из всех возможных дискретных сигналов выбираются только разрешенные уровни, кратные шагу квантования, равному значению младшего разряда ЦВМ.

Состав цифровой системы управления. Особенности математического описания цифровой системы управления. Z-преобразование 5 Если преобразователь НК имеет разрядов, то число уровней квантования, отличных от нуля, составляет. Квантование сигналов по уровню – нелинейная операция, поэтому цифровые системы относятся к классу нелинейных. Сигнал, квантованный по уровню, можно представить в виде (1) где x(t) – неквантованный сигнал; – шум квантования.

Состав цифровой системы управления. Особенности математического описания цифровой системы управления. Z-преобразование 6 Если преобразователь НК имеет разрядов, то число уровней квантования, отличных от нуля, составляет. Квантование сигналов по уровню – нелинейная операция, поэтому цифровые системы относятся к классу нелинейных. Сигнал, квантованный по уровню, можно представить в виде (1) где x(t) – неквантованный сигнал; – шум квантования.

Состав цифровой системы управления. Особенности математического описания цифровой системы управления. Z-преобразование 7 Число разрядов преобразователей информации обычно выбирается равным 8-16, при этом число уровней квантования сигналов велико, что позволяет во многих случаях пренебречь нелинейностью характеристик. При необходимости влияние шума квантования на качество работы САУ можно учесть путем введения дополнительного сигнала. Цифровую систему можно рассматривать как линейную дискретную систему

Состав цифровой системы управления. Особенности математического описания цифровой системы управления. Z-преобразование 8 Входные и выходные сигналы цифровой части системы являются числовыми последовательностями. При анализе можно отвлечься от физических принципов работы цифровых устройств и считать основной характеристикой ЦВМ алгоритм, в соответствии с которым входные сигналы преобразуются в выходные. Тогда ЦВМ в САУ можно представить как последовательное соединение цифрового фильтра, осуществляющего преобразование сигналов, и звена запаздывания с передаточной функцией. Звено запаздывания учитывает время прохождения сигнала через цифровой фильтр.

Состав цифровой системы управления. Особенности математического описания цифровой системы управления. Z-преобразование 9 Время запаздывания зависит от решаемого алгоритма и быстродействия ЦВМ, в общем случае оно не равно периоду выдачи данных с ЦВМ. Очевидно, что эти величины связаны соотношением. Знак равенства имеет место в том случае, когда ЦВМ обслуживает один канал.

Состав цифровой системы управления. Особенности математического описания цифровой системы управления. Z-преобразование 10 Рис. 2. Процесс квантования сигнала по уровню

Состав цифровой системы управления. Особенности математического описания цифровой системы управления. Z-преобразование 11 Рис. 3. Cхема ЦВМ

Математическая модель процесса преобразования непрерывного сигнала в дискретный 12 Для математического описания преобразования непрерывного сигнала в дискретный удобна следующая математическая модель сигнала: (1) или (2)

Математическая модель процесса преобразования непрерывного сигнала в дискретный 13 Cигнал X * (t) называют обобщенным дискретным сигналом. Этот сигнал представляет собой последовательность -функций, площади которых равны значениям непрерывного сигнала в дискретные моменты времени t=0,T,2T,.... Преобразование непрерывного сигнала в последовательность мгновенных импульсов (2) можно рассматривать как модуляцию последовательности единичных импульсов непрерывным сигналом.

Математическая модель процесса преобразования непрерывного сигнала в дискретный 14 На структурных схемах цифровых САУ процесс преобразования сигнала x(t) в X*(t) отображается введением ключа, который называют дискретизатором или простейшим импульсным элементом. Рис. 4. Процесс квантования сигнала по времени

Математическая модель процесса преобразования непрерывного сигнала в дискретный 15 Последовательность мгновенных импульсов подается на цифровое устройство системы, в котором перерабатывается в соответствии с алгоритмом в выходную последовательность мгновенных импульсов u * (t). В САУ с непрерывными объектами управления последовательность импульсов u*(t) преобразуется в непрерывный сигнал.

Математическая модель процесса преобразования непрерывного сигнала в дискретный 16 Для этой цели применяются преобразователи, сигнал на выходе которых меняется дискретно. В этом случае каждый мгновенный импульс последовательности u*(t) преобразуется в прямоугольный длительностью Т, амплитуда которого равна площади мгновенного импульса. Например, мгновенный импульс в момент времени t=0 преобразуется в прямоугольный вида, откуда передаточная функция преобразователя (3)

Математическая модель процесса преобразования непрерывного сигнала в дискретный 17 где – преобразование Лапласа для мгновенного импульса в момент времени t=0. Устройство, которому соответствует передаточная функция, называют формирующим элементом или экстраполятором нулевого порядка.

Математическая модель процесса преобразования непрерывного сигнала в дискретный 18 Рис. 5. К определению передаточной функции экстраполятора

Математический аппарат Z-преобразования 19 На математическом аппарате Z-преобразования строится современная теория дискретных и цифровых САУ. С целью определения Z преобразования найдем преобразование Лапласа последовательности мгновенных импульсов (2). В результате получим (4) (5)

Математический аппарат Z-преобразования 20 с учетом (6) получим: (7) Введем обозначение. Тогда уравнение (7) принимает вид: (8)

Математический аппарат Z-преобразования 21 Свойство линейности. Если,,(9) то:.(10) Первая теорема смещения. Если,то для целых K (11)

Математический аппарат Z-преобразования 22 Вторая теорема смещения. Если, то для целых K (12) Cвертка функций. Если (13) (14) Предельные значения. Если дискретные значения функции в установившемся режиме существуют, то они могут быть найдены путем следующего предельного перехода: (15)

Математический аппарат Z-преобразования 23 Формула обращения. Дискретные значения функции по ее Z-преобразованию определяют следующим контурным интегралом: (16) Ранее было определено Z-преобразование для случая, когда возникновение сигнала совпадает с моментом очередной посылки единичных импульсов несущей. Если сигнал запаздывает на T, то последовательность мгновенных импульсов имеет вид: (17)

Математический аппарат Z-преобразования 24 При этом Z-преобразование вычисляется по формуле: (18) Уравнение (18) характеризует Z-преобразование запаздывающих сигналов или модифицированное Z- преобразование.

Контрольные вопросы Какие преимущества имеют цифровые системы перед аналоговыми? 2. Какие основные функциональные элементы составляют цифровую систему управления? 3. Какие виды квантования сигнала применяют в цифровых системах? 4. Каково математическое выражение преобразования непрерывного сигнала в дискретный? 5. В чем состоит связь Z-преобразования с преобразованием Лапласа?

Контрольные вопросы Каково выражение Z-преобразованного смещенного во времени сигнала (со сдвигом назад и со сдвигом вперед)? 7. Как вычислить установившееся во времени значение выходного сигнала по Z-преобразованному текущему значению?

Рекомендуемая литература Кривошеев В.П. Основы теории управления: Конспект лекций. Часть 2. Владивосток: Изд-во ВГУЭиС, – 83 с. 2. Лукас В.А. Теория автоматического управления. – М.: Недра, – 416 с.

28 Использование материалов презентации Использование данной презентации, может осуществляться только при условии соблюдения требований законов РФ об авторском праве и интеллектуальной собственности, а также с учетом требований настоящего Заявления. Презентация является собственностью авторов. Разрешается распечатывать копию любой части презентации для личного некоммерческого использования, однако не допускается распечатывать какую-либо часть презентации с любой иной целью или по каким-либо причинам вносить изменения в любую часть презентации. Использование любой части презентации в другом произведении, как в печатной, электронной, так и иной форме, а также использование любой части презентации в другой презентации посредством ссылки или иным образом допускается только после получения письменного согласия авторов.