1 Управляемость и наблюдаемость. Критерии управляемости и наблюдаемости линейных стационарных многомерных объектов Кафедра ИСКТ Кривошеев В.П.

Управляемость и наблюдаемость. Критерии управляемости и наблюдаемости линейных стационарных многомерных объектов 2 Уаправляемость и наблюдаемость. Математическое описание объекта управления представим в параметрах состояния : (1) (2) гдеX(t) вектор параметров состояния, X(t) = {X 1 (t), X 2 (t),..., X n (t)}; U(t) вектор управляющих воздействий, U(t) = {U 1 (t), U 2 (t),..., U r (t)}; Y(t) вектор выходных переменных, Y(t) = {Y 1 (t), Y 2 (t),...,Y (t)}; А, В, С матрицы постоянных коэффициентов с размерами соответственно n x n, n x r, x n.

Управляемость и наблюдаемость. Критерии управляемости и наблюдаемости линейных стационарных многомерных объектов 3 Объект (1) называют полностью управляемым, если его можно с помощью некоторого ограниченного управляющего воздействия U(t) перевести в течение конечного интервала времени t к из любого начального состояния X(0) в заданное конечное состояние X(t к ). Для осуществления такого перевода объекта необходимо, но не достаточно, чтобы каждая из переменных состояния X i (i=1,...,n) зависела хотя бы от одной из составляющих U j (j=1,...,r) вектора управлений U(t).

Управляемость и наблюдаемость. Критерии управляемости и наблюдаемости линейных стационарных многомерных объектов 4 Без доказательства приведём критерий управляемости линейных стационарных объектов. Пусть матрицы А и В постоянны. Введём так называемую матрицу управляемости (3) которая состоит из столбцов матрицы В и произведений матриц,,..., и имеет размерность (n * nr). Справедлив следующий критерий управляемости: линейный стационарный объект X вполне управляем тогда и только тогда, когда ранг матрицы управляемости (3) равен размерности n пространства состояний объекта, то есть если

Управляемость и наблюдаемость. Критерии управляемости и наблюдаемости линейных стационарных многомерных объектов 5 Запись в правой части (3) означает матрицу, у которой первые r столбцов совпадают со столбцами матрицы В, следующие r столбцов со столбцами произведения матриц АВ и т.д., а последние r столбцов образованы столбцами произведения матриц. Ранг матрицы находят как наибольший порядок отличных от нуля квадратных миноров матриц. Необходимое и достаточное условие (4) означает, что матрица управляемости (3) должна содержать n линейно независимых столбцов.

Управляемость и наблюдаемость. Критерии управляемости и наблюдаемости линейных стационарных многомерных объектов 6 В частном случае, когда ранг матрицы В больше единицы, например равен, условие управляемости имеет вид: Если управление U(t) скалярная функция времени и матрица В превращается в матрицу столбец, то для полной управляемости необходимо и достаточно, чтобы квадратная матрица управляемости Q y не была вырожденной, то есть чтобы её определитель det Qy 0. В другом частном случае, когда А диагональная матрица и все её элементы различны, для управляемости необходимо и достаточно, чтобы матрица В не содержала нулевых строк.

Управляемость и наблюдаемость. Критерии управляемости и наблюдаемости линейных стационарных многомерных объектов 7 Если ранг матрицы Qy меньше n, то система будет не полностью управляемой. Наряду с управляемостью состояния X(t) можно рассматривать управляемость выхода Y(t) объекта [3]. Условие управляемости выхода объекта где размерность вектора выхода Y(t).

Контрольные вопросы 8 Каков физический смысл управляемости? Какова математическая интерпретация управляемости? Каков физический смысл наблюдаемости? При каких условиях объект полностью управляем? При каких условиях объект полностью наблюдаем?

Рекомендуемая литература 9 1. Кривошеев В.П. Основы теории управления: Конспект лекций. Часть 2. Владивосток: Изд-во ВГУЭиС, – 83 с. 2. Лукас В.А. Теория автоматического управления. – М.: Недра, – 416 с.

10 Использование материалов презентации Использование данной презентации, может осуществляться только при условии соблюдения требований законов РФ об авторском праве и интеллектуальной собственности, а также с учетом требований настоящего Заявления. Презентация является собственностью авторов. Разрешается распечатывать копию любой части презентации для личного некоммерческого использования, однако не допускается распечатывать какую-либо часть презентации с любой иной целью или по каким-либо причинам вносить изменения в любую часть презентации. Использование любой части презентации в другом произведении, как в печатной, электронной, так и иной форме, а также использование любой части презентации в другой презентации посредством ссылки или иным образом допускается только после получения письменного согласия авторов.