Кафедра математики и моделирования Старший преподаватель Е.Г. Гусев Курс «Высшая математика» Лекция 1. Тема: Определители и их свойства. Цель: Рассмотреть понятие определителя и усвоить основные правила его нахождения.

Определителем произвольной матрицы второго порядка Определителем произвольной матрицы второго порядка называется число, которое обозначается Δ = – 12 21

Определителем Определителем произвольной квадратной матрицы третьего порядка называется сумма шести слагаемых, каждое из которых представляет собой произведение трех элементов матрицы, по следующему правилу выбираемых по следующему правилу :

три произведения элементов, стоящих на главной диагонали и в вершинах двух треугольников: берутся со знаком " ", а три произведения элементов, стоящих на побочной диагонали и в вершинах двух других треугольников: берутся со знаком " ".

Определитель третьего порядка обозначается так:

Свойства определителей Свойства определителей 1. Если поменять местами две строки определителя (два столбца), то получим новый определитель, равный исходному, умноженному на (-1). 2.Определитель, имеющий две равных строки (два равных столбца), равен нулю. 3. Если одну из строк определителя умножить на какое- либо число, то получится определитель, равный исходному, умноженному на это число. 4. Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы. 5. Если в определителе вместо любой строки записать сумму этой строки и любой другой строки, умноженной на некоторое число, то полученный новый определитель будет равен исходному.

Матрицы и их свойства. Действия над матрицами. Цель: Рассмотреть понятие матрицы и изучить ее основные свойства.

Таблицу, состоящую из n строк и m столбцов называют матрицей. n х m – называется размерностью матрицы. Если m=n матрица называется квадратной. Число n – называется порядком матрицы. Если m=n матрицу называют прямоугольной.

Матрица с элементами aij = 1, если i=j; 0, если ij, при n=m, называется единичной матрицей и обозначается Е. Матрица, у которой все элементы нули, называется нулевой матрицей и обозначается О.

Элементы с одинаковым индексом квадратной матрицы образуют главную диагональ матрицы. Две матрицы одинаковой размерности называют равными, если равны элементы на одинаковых местах.

Действия над матрицами. Суммой двух матриц одинаковой размерности А и В называется матрица С той же размерности, элементы которой находятся по формуле: А+В=С; cij = aij + bij Чтобы матрицу умножить на число, надо все элементы матрицы умножить на это число, т.е. α х А

Свойства операций над матрицами. 1)А+В=В+А; 2) (А+В)= А+В, -число; 3) А х В В х А; 4) (А+В) х С= А х С+В х С; 5) А+О=А; 6) А х О=О; 7) А х Е=А, Е х А=А; 8) Ат – транспонированная; ; (At)t = A; (A х B)t = Bt х At 9)Аквадрант (n х n) – det A - детерминант А – определитель кв. матрицы ; Det (A х B)=det A х det B

Вопросы: 1)В каком случае значение определителя меняет свой знак на противоположный? 2)Если в определителе есть хотя бы одна нулевая строка (столбец), то чему он равен? 3)Назовите условия умножения матриц.