Кафедра математики и моделирования Старший преподаватель Е.Г. Гусев Курс «Высшая математика» Лекция 5. Тема: Непрерывность функции. Точки разрыва. Производные первого порядка. Цель: 1)Рассмотреть понятие непрерывности, классифицировать точки разрыва. 2)Дать определение производной первого порядка. Таблица производных элементарных функций. Геометрический и физический смысл производной.

Приращением некоторой переменной величины называется разность между новым значением этой величины и её прежним значением, т.е. x-x 1. Обозначается: x ( любое по знаку),x– старое значение, x + x – новое значение. Функция y=f(x), определенная на множестве x, называется непрерывной при x=x 0, x 0 x, или непрерывной в точке x 0, если 1. функция определена при x=x 0 (т.е. x 0 и некоторой окрестности) 2. приращение функции в точке x 0 стремится к 0, когда приращение аргумента x стремится к 0, т.е. Другое определение непрерывности функции. Функция y=f(x) называется непрерывной при xx 0, если 1)эта функция определена при x=x 0 2) (Это эквивалентные определения)., где бесконечно малая x приобретает лишь те значения, для которых f(x0 + x) имеет смысл. Теорема Если функция непрерывна, то знаки предела и функции перестановимы

Теоремы о непрерывных функциях. 1. Основные элементарные функции непрерывны в области определения. 2. Сумма конечного числа непрерывных функций есть функция непрерывная. 3. Произведение конечного числа непрерывных функций есть функция непрерывная. 4. Частное от деления двух непрерывных функций есть функция, непрерывная во всех точках, в которых делитель не равен 0. Следствие: R(x)= непрерывна всюду, за исключением тех значений x, в которых знаменатель равен 0 5. Непрерывная функция от непрерывной функции есть функция непрерывная. 6. Теорема о непрерывности обратной функции. Если функция y=f(x) непрерывна и строго монотонна ( строго возрастает или строго убывает) на промежутке [a, b], то существует однозначная обратная функция x=φ(y), ограниченная на промежутке [f(a),f(b)], причем x=φ(y) непрерывна и монотонна в том же смысле. «Истинное» значение функции. Операция нахождения lim называется раскрытием неопределенности, а сам предел, если он существует, называется «истинным» значением функции f(x) при x=x 0. Если, то f(x) непрерывна в точке x0.

Классификация точек разрыва. Точка, в которой нарушается непрерывность функции, называется точкой разрыва этой функции. Функция разрыв на т.к.: 1. не существует предела функции в этой точке, или 2. предел функции в данной точке, т.е. левый предел равен правому пределу, но он не совпадает со значением функции в данной точке. Точка x 0 называется точкой разрыва 1-ого рода устранимого разрыва функции, если = f(x 0 ). (если f(х ) не существует ). Функция, допускающая на отрезке лишь конечное число точек разрыва 1-ого рода, называется кусочно-непрерывной на этом отрезке ( в точках разрыва функция может быть не определена).

y = f(x) Тот факт, что A есть предел функции y = f(x) x = x 0 в точке x = x 0, записывается формулой: Рассмотрим функцию x > 0y = 2x Очевидно, что если x > 0, то y = 2x; x < 0y = –2xx = 0 если x < 0, то y = –2x; при x = 0 функция не определена.

График функции изображен на рисунке 3. Легко убедиться в том, что, согласно приведенному выше определению предела, x = 0 эта функция в точке x = 0 предела не имеет.

Понятие производной функции в точке х 0 Производной функции в точке х 0 называется, если этот предел сущ. Теорема о связи дифференцируемости и непрерывности Если функция Производная как функция. Правила дифференцирования Пусть - множество точек, в которых функция дифференцируема. число, получим новую функцию с областью. Эта функция называется производной функции и обозначается или Правила дифференцирования: дифференцируема в точке х 0, то она непрерывна в этой точке Сопоставляя каждому определения

Производная сложной функции. Пусть и. Тогда Теорема:Если функция имеет производную в точке х, а функция имеет производную в соответствующей точке U, то в точке х имеет производную, причем. Геометрический и физический смысл производной. Геометрический смысл: Пусть функция тогда угловой коэффициент касательной к графику функции, проведенной в точке, равен Физический смысл: материальная точка движется прямолинейно неравномерно по закону Тогда скорость точки в момент времени t равна называется сложной функцией от х. сложная производная дифференцируема в точке х 0,, где t- время, S – путь, проходимый точкой за время t.

1), где 2) 3) 4) 5) 6), где n – натуральное число, где a>0, Частный случай: 8), где a>0, Частный случай : 9) 10) 11) Таблица производных элементарных функций 7) 12)

Вопросы: 1)Какие точки называют точками разрыва первого рода? 2)Какие точки называют точками разрыва второго рода? 3)Геометрический смысл производной?