Кафедра математики и моделирования Старший преподаватель Е.Г. Гусев Курс «Высшая математика» Лекция 7. Тема: Ряды. Определение и свойства. Цель: Рассмотреть понятие ряда и основные свойства.

Определение числового ряда Рассмотрим некоторую числовую последовательность. Составим из членов этой последовательности бесконечную сумму Выражение вида называется числовым рядом.

Сходимость рядов с положительными членами Конечные суммы называют частичными суммами ряда. Ряд называют сходящимся, если существует конечный предел,при этом число называют суммой ряда.

Расходящиеся ряды Если равен бесконечности или вообще не существует, то ряд называется расходящимся. Ряд является расходящимся, так как его частичные суммы,, очевидно, при не имеют конечного предела.

Необходимый признак сходимости ряда Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю, т. е. Таким образом, если, то ряд расходится.

Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов Признак 1 Пусть даны ряды и. Если ряд с большими членами сходится, то сходится и ряд с меньшими членами. Если же ряд с меньшими членами расходится, то расходится и ряд с большими членами.

Признак сравнения 2, или признак сравнения в предельной форме. Пусть даны два ряда с положительными членами и и пусть существует конечный и не равный нулю. Тогда оба ряда сходятся или расходятся одновременно.

Признак Даламбера Если для знакоположительного ряда существует конечный предел то ряд сходится при L l..

Признак Коши Если для знакоположительного ряда существует предел, то при L 1 ряд расходится.

Интегральный признак Если при x 1 - непрерывная, положительная и монотонно убывающая функция, то ряд, где, сходится или расходится в зависимости от того, сходится или расходится интеграл

Сходимость знакочередующихся рядов. Знакочередующимся рядом называют ряд вида: где.

Признак Лейбница Знакочередующийся ряд сходится, если абсолютные величины его членов убывают, а общий член стремится к нулю, то есть если выполняются условия: 1), 2)

Примеры Исследовать на сходимость ряды: 1), 2). 1) члены знакочередующегося ряда монотонно убывают и. Согласно признаку Лейбница ряд сходится.

2) общий член ряда не стремится к нулю, так как Следовательно, ряд расходится согласно необходимому признаку.

Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов. Понятие знакопеременного ряда включает в себя как знакочередующиеся ряды, так и ряды с произвольным чередованием знаков своих членов.

Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда Если сходится ряд, то знакопеременный ряд также сходится.

Абсолютно сходящийся ряд Если сходится ряд, то знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся. Условно сходящийся ряд Если сходится ряд, а ряд расходится, то знакопеременный ряд называется условно сходящимся.

Степенные ряды Ряд называется степенным по степеням х. Ряд является степенным по степеням. С помощью замены такой ряд сводится к ряду по степеням х.

Интервал сходимости Интервал называется интервалом сходимости степенного ряда, а половина его длины R называется радиусом сходимости степенного ряда.

Вопросы: 1)Определение рядов? 2)Сходимость числовых рядов? 3)Область сходимости степенного ряда?