Кафедра математики и моделирования Старший преподаватель Е.Г. Гусев Курс «Высшая математика» Лекция 12. Тема: Теоремы сложения и умножения вероятностей. Цель: Рассмотреть события и действия над ними. Разобрать теоремы сложения и умножения вероятностей

Терминология Ω – множество всех возможных исходов опыта. ω – элементарное событие (неразложимый исход опыта). Любое событие А есть некоторое подмножество Ω ( ). Ω – достоверное событие, Ø – невозможное событие.

Пример Опыт – получение оценки на экзамене., А= { ω:ω – положительная оценка}

Основные определения Определение 1: Суммой двух событий А, B называется событие С, состоящее в выполнении события А или события B. Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в выполнении хотя бы одного из этих событий. Определение 2:Произведением нескольких событий называется событие C, состоящее в совместном выполнении всех этих событий

Основные определения Определение 3: События А 1, А 2,….,А n – образуют полную группу, если А 1 А 2 … А n =Ω Определение 4: События А 1, А 2,….,А n несовместные, если АjAi =Ø (ij) Определение 5: Противоположным по отношению к событию A называется событие, состоящее в не появлении А, а значит дополняющее его до Ω

Пример Опыт – получение оценки на экзамене., Событие А : получение пятерки Событие : ? : получение 2, 3, 4.

Теорема сложения вероятностей Теорема 1: Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий. P(A B) = P(A) + P(B) (AB=Ø) Пример: Студент берет билет (1,2,3,…,10). Какова вероятность того, что он выберет билет с четным номером?

Теорема сложения вероятностей В случае, когда события А и B совместны, вероятность их суммы выражается формулой: Пример: Студент берет билет (1,2,3,…,10). Какова вероятность того, что студент вытянет билет, номер которого делится на 2 или на 3?

Теорема сложения вероятностей Теорема 2: 1) (Ai Aj = Ø, i j), 2). Если A 1, …,A n – несовместны, образуют полную группу, то Сумма вероятностей противоположных событий равна 1:

Определения Определение 6: Условной вероятностью события А при наличии B называется вероятность события А, вычисляемая при условии, что событие B произошло. Обозначается P(A׀B). Определение 7: События А и B называются независимыми, если появление одного не меняет вероятности появления другого. P(A ׀ B) = P(A), P(B ׀ A)=P(B), для независимых событий.

Теорема умножения вероятностей Теорема 3: Для независимых событий: P(AB) = P(A) P(B), P(A i ) = P(A i ) Для произвольных событий P(AB) = P(A) P(B ׀ A), P(A 1 A 2 A 3 …A n ) = = P(A 1 )P(A 2 ׀A 1 )P(A 3 ׀ A 1 A 2 )…P(A n ׀ A 1 …A n-1 )

Примеры: Из 25 билетов, студент знает 20 билетов. Какова вероятность того, что студент ответит на 3 вопроса? Студент знает половину билетов какая вероятность того, что он ответит на три вопроса? Студент знает половину материала. Вопросы задаются случайным образом по всему курсу. Какова вероятность ответить на три вопроса?

Примеры Студент сдает три экзамена. A i – сдан i экзамен. Представить в виде суммы, произведения следующие события: А – все три экзамена сданы В – все три экзамена не сданы С – первый и второй не сдан D – хотя бы один сдан E – хотя бы один не сдан G – только 3-ий сдан F – не менее двух сдано H – не более одного сдано

Примеры Два стрелка одновременно стреляют по мишени. Вероятность попадания первого 0,6, второго – 0,7. Записать указанные события и найти вероятность того, что a) попадут оба стрелка b) промахнуться оба c) попадет первый и не попадет второй стрелок d) попадет только один стрелок Решение: a) P(А 1 А 2 )=P(A 1 )*P(A 2 )=0,6*0,7=0,42 b) c) d)

Вопросы: 1)Чему равно произведение противоположных событий? 2)Описать множество элементарных событий Ω для последнего примера.