Кафедра математики и моделирования Старший преподаватель Е.Г. Гусев Курс «Высшая математика» Лекция 13. Тема: Формула полной вероятности. Формула Бейеса. Цель: Разъяснить формулу полной вероятности и как следствие из неё – формулу Бейеса.

Терминология Допустим, что об условиях опыта можно сделать n исключающих друг друга предположений (гипотез): H 1,H 2,…,H n, где H i H j = Ø, i j H i – несовместные, образующие полную группу события.

Формула полной вероятности Заданы условные вероятности события А, при каждой из гипотез P(A׀H 1 ),…,P(A׀H n ). Событие А может появиться только вместе с одной из гипотез. Найдем вероятность события А. A= H 1 A +H 2 A + …+ H n A, H i A – несовместные события, значит, P(H i A) = P(H i )P(A׀H i ) Отсюда – формула полной вероятности

Формула полной вероятности Применяется, когда опыт со случайными исходами распадается на два случая: розыгрыш условий опыта розыгрыш результата

Пример 1 Имеются два одинаковых ящика с карандашами. В 1-ом ящике – 2 зеленых и 1 синий карандаш, во 2-ом – 1 зеленый и 3 синих. Наудачу выбирают один из ящиков и вынимают из него карандаш. Какова вероятность вынуть зеленый карандаш?

Решение H i – выбор i ящика P(H 1 ) = P(H 2 )=1/2 P(A׀H 1 ) =2/3 P(A׀H 2 ) = ¼ P(A) =

Пример 2 Предположим, что 0,5% всех мужчин и 0,025% всех женщин дальтоники. Найти вероятность того, что наугад выбранное лицо страдает дальтонизмом. Фразу из песни считать верной: «На 10 девчонок по статистике 9 ребят».

Решение H 1 – выбрана женщина H 2 – выбран мужчина P(H 1 ) = 10/19; P(H 2 ) = 9/19; P(A׀H 1 ) = P(A׀H 2 ) = P(A) =

Формула Бейеса До опыта о его условиях можно было сделать ряд гипотез H 1, H 2,…,H n ; H i = Ω; H i H j = Ø Вероятности гипотез до опыта «априорные вероятности» заданы: P(H 1 ),….,P(H n ); Пусть опыт проведен, в результате его появилось событие А. Найдем вероятность гипотез, при условии, что А произошло (найти «апостериорные» вероятности гипотез, при условии, что опыт дал результат А).

Формула Бейеса P(H 1 ׀A); P(H 2 ׀A)…. P(H n ׀A) P(H i A) = P(H i ) P(A׀H i ) =P(A) P(H i ׀A) P(H i |A) = =

Пример 1 1. Три барабана с лотереями: в 1-ом 50 билетов, из которых два выигрышных; во 2-ом 100 билетов – 4 выигрышных; в 3-ем 300 билетов – 5 выигрышных. Изымают 1 билет – выигрышный. Из какого барабана менее вероятно этот билет?

Решение P(H i ) = 1/3; P(A׀H 1 ) = 2/50=1/25; P(A׀H 2 ) = 4/100=1/25; P(A׀H 3 ) = 5/300=1/60; P(A) = P(H 1 ׀A) = P(H 2 ׀A) = 12/29 P(H 3 ׀A)= 5/29

Пример 2 2. Два студента на практике в налоговой полиции проверяют правильность заполнения налоговых деклараций членами правительства РФ. 1 студент обрабатывает 60% деклараций, 2-ой – 40%. Вероятность того, что 1-ый допустит ошибку при обработке 0.01, 2-ой – Руководитель практики для контроля проверил одну декларацию и выявил ошибку проверки. Определить вероятность того, что ошибся 1-ый студент.

Решение H 1 – проверил 1-ый студент Н 2 – проверил 2-ой студент А – «студент ошибся» P(H 1 ׀A) =

Вопросы: 1)Каким условиям должны отвечать гипотезы Н для события А? i