Кафедра математики и моделирования Старший преподаватель Е.Г. Гусев Курс «Высшая математика» Лекция 24. Тема: Моделирование взаимодействия потребителей и производителей. Цель: Рассмотреть функцию предложения и модели установления равновесной цены на рынке одного товара.

Функция предложения Функция предложения S(p) описывает зависимость между рыночной ценой товара и его предложением на изолированном рынке этого товара.

Для практических расчетов применяются функции предложения двух основных видов: Линейная Степенная

Коэффициент эластичности по цене Ep(S) показывает, на сколько процентов увеличится предложение, если его цена вырастит на 1%.

Для линейной функции предложения,где - средние значения цены и предложения по таблице наблюдений. Для степенной функции предложения

Модель Эванса установления равновесной цены на рынке одного товара Пусть D(t), S(t), p(t) – соответственно спрос, предложение и цена товара в момент t. Спрос и предложение будем считать линейными функциями цены, то есть D=a-bp, a и b >0, a S=m+np, m и n>0 и при нулевой цене спрос превышает предложение.

Основное предположение состоит в том, что цена изменяется в зависимости от соотношений между спросом и предложением, то есть увеличение цены прямо пропорционально превышению спроса над предложением и длительности этого превышения. Получаем дифференциальное уравнение:

Подставим в это уравнение линейные зависимости спроса и предложения от цены, получаем линейное неоднородное дифференциальное уравнение с начальным условием: P(0)=P0

Это уравнение имеет стационарную точку при p*>p при p*<p Отсюда следует, что

При p0<p* цена стремится p* возрастая, а при p0>p* цена стремится p* убывая. Сама цена p* есть равновесная цена, при которой равны спрос и предложение:

Решение дифференциальное уравнение (1) имеет вид или причем

Замечание. В дискретной модели Эванса рынок функционирует следующим образом: утром на рынке обнаруживается некоторое предложение S и спрос d. В зависимости от их значений цена начинает равномерно расти или убывать.

В отличии от паутинообразной модели рынка, точка равновесия не переходится, то есть если цена была меньше равновесной, то она так и останется меньше, и весь процесс изображается слева от точки равновесия, а если цена была больше равновесной, то она так и останется больше, и весь процесс изображается справа от точки равновесия.

Паутинообразная модель Пусть в начальный момент времени установлена начальная цена p0, при этом спрос оказался меньше предложения, то есть D(p0)<S(p0), тогда понижаем цену до уровня, при котором спрос равен предложению при первоначальной цене D(p1)=S(p0).

В паутинообразной модели рассматривается однопродуктовый рынок. При новой цене p1 спрос превышает предложение D(p1)>S(p1), поэтому повышаем цену до уровня p2, при котором D(p2)=S(p1) и т. д.

Процесс, описываемый рекуррентным соотношением сходится. Спрос характеризуется убывающей функцией S(p), предложение – возрастающей функцией D(p).

Вопросы: 1)Какой функцией описывается спрос на товар, а какой – предложение товара? 2)Что такое равновесная цена?