Глава I Дифференциальные уравнения первого порядка.

1 Основные понятия. Задача Коши.

Дифференциальное уравнение первого порядка Это функциональное уравнение Или связывающие между собой независимую переменную, искомую функцию и ее производную

Общее решение уравнения или Это функция, если при любом допустимом параметре с она является частным решением этого уравнения и, кроме того, любое его частное решение может быть представлено в виде при некотором значении параметра

Задача Коши Найти решение дифференциального уравнения удовлетворяющее заданному начальному условию: то есть принимающее при заданное значение

2. Уравнение первого порядка с разделяющими переменными

Дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если оно имеет вид функции только переменной, функции только переменной,

3. Дифференциальные уравнения, однородные относительно х и у и приводящиеся к ним

Функция называется однородной функцией нулевого измерения, если при умножении аргументов и на произвольный параметр значение функции не изменится.

Теорема. функция нулевого измерения может быть записана в виде:

Уравнение называется однородным относительно х и у, если функция является однородной функцией нулевого измерения и его можно записать в виде:

Функция называется однородной функцией n-го измерения, если при замене переменных х и у соответственно на tx и ty, где t- произвольная величина (параметр), получается та же функция, умноженная на, то есть выполняется условие: Число n называется измерением (степенью) однородностью функции.

Уравнение (2) в котором и - однородные функции одного и того же измерения, так же является дифференциальным уравнением, однородным относительно х и у.

Метод решения: Однородные уравнения можно привести к уравнению с раздельными переменными подстановкой y=xz, где z- новая искомая функция переменной х.

Теорема. Уравнение вида приводится к однородному или к уравнению с раздельными переменными.

Уравнение вида называется обобщенным однородным уравнением, если можно выбрать показатель степени так, чтобы подстановка преобразовывала данное уравнение в однородное относительно x и y.