1. Способ неопределенных коэффициентов для нахождения частного решения неопределенного линейного уравнения.

Этот способ применим для правой части специального вида, которая содержит показательные функции, синусы, косинусы и многочлены или их целые рациональные комбинации. Частное решение ищется в форме, аналогичной правой части.

Если правая часть имеет вид, то частное решение примет следующий вид, где - кратность корней среди корней характеризующих уравнения., многочлены той же степени, что и,, но взятые в общем виде

Вид правой части Корни характеризующие уравнения Вид частного решения 1. А)0 - не является корнем характеризующим уравнения. Б)0- кратности 2. А) не корень. Б) корень кратности 3. А) не является корнем. Б) корень кратности. 4. А) числа не корень. Б) числа корень кратности.

2. Метод вариации произвольной постоянной решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Окончательно, для нахождения неизвестных функций, мы получим систему уравнений с неизвестными где

4. Линейные уравнения с переменными коэффициентами.

Уравнения Бесселя. Функция Бесселя. Задача: Вертикально стоящий и изгибающийся под действием своего веса стержень длины. Дифференциальное уравнение изогнутой оси имеет вид: Уравнение Бесселя с индексом. Общий вид:.

Определение Функции, удовлетворяющие уравнению Бесселя, называются функциями Бесселя.

функцию, являющуюся решением дифференциального уравнения называют бесселевой функцией первого рода с индексом и обозначают

Чтобы получить окончательное выражение для, вводят специальную функцию- Гамма функцию Эйлера. (интегрируем по частям), получаем, что или основное функциональное уравнение.

Для натурального получаем ;, и так далее,

Второе частное решение зависит от и, окончательно

Иногда вместо берут линейную комбинацию, содержащую,, т.е, тогда, функция Вебера, или функция Бесселя второго рода.

Функция Бесселя и тригонометрические функции связаны тесно: при определении они ведут себя идентично (в школе затухающие колебания ).

Уравнение Лагранжа с переменными коэффициентами натуральные решения- многочлены, которые выражаются формулой Родрига

5. Уравнение Эйлера.

Определение 1. Уравнение вида где, называется уравнением Эйлера.

Теорема 1: Уравнение Эйлера приводится к линейному уравнению с постоянными коэффициентами заменой независимого переменного подстановкой (или ).

Определение 2 Однородное уравнение Эйлера имеет вид

Глава 3. Системы дифференциальных уравнений.

1. Нормальные системы дифференциальных уравнений.

Дано: пусть

Таким образом, из уравнения ого порядка мы получили систему дифференциальных уравнений первого порядка. штук неизвестных функций, уравнений.

Полученная система представляет собой частный случай системы

Определение 1 Такая система называется нормальной системой дифференциальных уравнений.

Определение 2. Решением системы называется совокупность функций, удовлетворяющих всем уравнением системы.

Определение 3. Частным решением системы называется решение, удовлетворяющее начальным условиям.

Замечание. Для нормальной системы дифференциальных уравнений может быть доказана теорема существования и единственности решения, частным случаем которой является теорема существования и единственности решения для дифференциального уравнения ого порядка.

Теорема: Нормальная система дифференциальных уравнений первого порядка эквивалентна одному дифференциальному уравнению порядка.

Методы решения: 1). Переходят к уравнению ого порядка 2). Метод интегрирования комбинаций, когда для неизвестных функций ищут зависимостей между функциями и штук const, затем решают систему относительно искомых функций.

2. Линейные системы с постоянными коэффициентами.

Определение Нормальная система дифференциальных уравнений называется линейной, если функции линейны относительно искомых функций.

Т.е.