Дифференциальное исчисление функции одной переменной.

Определение производной Производной функции y=f(x) в точке х 0 Называется, если этот предел существует. Производная обозначается или. Таким образом, =.

Таблица производных

С´=0, где С – константа. (sinx)´=cosx. (x n )´=n. x n-1 где n – натуральное число (cosx)´=-sinx (a x )´=a x lna, где a>0, a1. В частности, (e x )´=e x (log a x)´=, где a>0, a1. В частности, (lnx)´=.

(arcsinx)´=(arctgx)´= (arccosx)´=-(arcctgx)´=-

Правила Дифференцирования Пусть u=u(x) и v=v(x) – функции, дифференцируемые в точке х. Тогда в этой точке дифференцируемы функции u+v, uv,. Последнее при условии, что v´(x)0. Причем, (u+v)´=u´+v´, (uv)´=u´v+uv´,.

Производная сложной функции Пусть y=f(u), а u=φ(x). Тогда функция y=f(φ(x)) называется сложной функцией от х. Теорема. Если функция u=φ(x) имеет производную в точке х, а функция y=f(u) имеет производную в соответствующей точке u=φ(x), то сложная функция y=f(φ(x)) имеет производную в точке х, причем.

1. с´= (u n )´=nu n-1 u´9. 3. (a u )´=a u lna. u´10. 3a. (e u )´=e u u´ a.13. (chu)´=shuu´ 5. (sinu)´=cosuu´14. (shu)´=chuu´ 6. (cosu)´=-sinuu´

Дифференцирование функций, заданных параметрически Пусть функция y от х задана параметрически уравнениями: x=x(t), y=y(t), t (α;β).

Пример x=cos3t, y=sin3t. Вычислить y x ´´. поэтому

Дифференцирование функций, заданных неявно. Вычислить y´ x, если y 5 +xy-x 2 =0. Продифференцируем обе части по х. Получим 5y 4 y´+y+xy´-2x=0, откуда y´(5y 4 +x)=2x-y и

Логарифмическое дифференцирование Найти производную функции y=(sinx) x. Логарифмируем функцию по основанию е: lny=x. lnsinx. Дифференцируем обе части равенства по х: y´=lnsinx+xctgx отсюда y´=y(lnsinx+xctgx) или y´=(sinx) x (lnsinx+xctgx).

Дифференциал функции dy=f´(x)dx

Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях!

Теорема Ферма Пусть функция y=f(x) определена в интервале (a;b) и принимает в точке с этого интервала наибольшее или наименьшее на (a;b) значение. Если существует f´(c), то f´(c)=0

Теорема Ролля Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b], дифференцируема на интервале (a;b) и f(a)=f(b)=0. Тогда ее производная f´(х) обращается в ноль хотя бы в одной точке c (a;b).

Теорема Лагранжа Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема в интервале (a;b). Тогда существует хотя бы одна точка c (a;b), для которой выполняется условие:

Теорема Лопиталя (правило Лопиталя). Пусть f(x) и φ(x) – функции, непрерывные на [a;b], дифференцируемые на (a;b); φ´(x)0 при всех х (a;b) и f(a)=φ(a)=0. Тогда если существует, то существует причем :

Пример

Применение производной к исследованию функций

Экстремумы функции.

Необходимо условие монотонности функции Если дифференцируемая в интервале (a;b) функция y=f(x) возрастает (убывает) на (a;b), то для всех х(a;b) f´(x)0 (f´(x)0)

Достаточный признак существования экстремума Если непрерывная на интервале функция y=f(x) имеет производную f´(x) во всех точках этого интервала, за исключением, может быть, критической точки с, принадлежащей этому интервалу, и если f´(x) при переходе аргумента слева направо через критическую точку с меняет знак с плюса на минус (с минуса на плюс), то функция в точке с имеет максимум (минимум)

Выпуклость и вогнутость графика функции График дифференцируемой функции называется выпуклым (вогнутым) в интервале (a;b), если он расположен ниже (выше) любой своей касательной на этом интервале

Достаточный признак выпуклости и вогнутости Пусть функция y=f(x) имеет вторую производную f´(x) во всех точках интервала (a;b). Если во всех точках этого интервала f´(x) 0), то график на (a;b) выпуклый (вогнутый).

Достаточный признак существования точки перегиба Если вторая производная f´(x) непрерывной функции меняет знак при переходе аргумента через точку х 0, то точка (x 0 ;f(x 0 )) является точкой перегиба графика функции.

Асимптоты графика функции Асимптотой графика функции y=f(x) называется прямая, расстояние от которой до текущей точки графика функции стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки от начала координат.

План исследования функции и построение графика 1. Область определения функции. 2. Точки пересечения графика функции с осями координат. 3. Четность, нечетность функции. 4. Исследование функции на непрерывность. Вертикальные асимптоты. 5. Невертикальные асимптоты. 6. Интервалы монотонности и экстремумы. 7. Интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба. 8. Дополнительные точки,, периодичность (по мере необходимости). 9. Построение графика.

Пример Исследовать функцию и построить ее график. 1. Область определения: так как при х=-2 и х=2 знаменатель дроби обращается в ноль. (-;-2) (-2;2) (2;+),

2. Пусть х=0, тогда у=0. Пусть у=0, тогда, откуда х=0. (0;0) – точка пересечения графика с осями координат

3. - функция четная.

4. Функция имеет разрывы в точках х=-2 и х=2, так как f(-2) и f(2) не определены.,, следовательно, х=-2 и х=2 – точки разрыва II рода и прямые х=-2 и х=2 – вертикальные асимптоты.

5. Невертикальные асимптоты следовательно, прямая у=1 – асимптота.

6. у´=0, если -8 х=0, откуда х=0 – критическая точка. Откуда х=-2 и х=2 – критические точки. На интервалах (-;-2) и (-2;0) функция возрастает, а на интервалах (0;2) и (2;+) – убывает. Уmax(0)=0.

7. у´´0 при х(-;), х=-2 и х=2 – критические точки второго порядка. На интервалах (-;-2) и (2;+) – график функции вогнутый, а на интервале (-2;2) – выпуклый. Точек перегиба нет