АЛГЕБРА, 8 класс Тема урока: «Квадратные уравнения» Если ты услышишь, что кто-то не любит математику, не верь. Её нельзя не любить - её можно только не знать.

уравнение вида ах 2 + вх +с = 0, где х –переменная, а, в и с некоторые числа, причем а 0. ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Квадратным уравнением называется

ПОЛНЫЕ КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ НЕПОЛНЫЕ КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ а 0, в 0, с 0 а 0, в = 0, с = 0 2 х 2 +5 х-7=0 6 х+х 2 -3=0 Х 2 -8 х-7= х+х 2 =0 3 х 2 -2 х=0 2 х+х 2 = х 2 =0 49 х 2 -81=0

1 вариант а) 6 х 2 – х + 4 = 0 б) 12 х - х 2 = 0 в) х 2 = 0 2 вариант а) х – 6 х 2 = 0 б) - х + х 2 – 15 = 0 в) - 9 х = 0 1 вариант а) а = 6, в = -1, с = 4; б) а = -1, в = 12, с = 0; в) а = 5, в = 0, с = 8; 2 вариант а) а = -6, в =1, с = 0; б) а = 1, в =-1, с = -15; в) а = -9, в = 0, с = 3. Определите коэффициенты квадратного уравнения:

РЕШЕНИЕ НЕПОЛНЫХ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ в=0 ах 2 +с=0 с=0 ах 2 +вх=0 в,с=0 ах 2 =0 1. Перенос с в правую часть уравнения. ах 2 = -с 2. Деление обеих частей уравнения на а. х 2 = -с/а 3. Если –с/а>0 -два решения: х 1 = и х 2 = - Если –с/а<0 - нет решений 1. Вынесение х за скобки: х(ах + в) = 0 2. Разбиение уравнения на два равносильных: х=0 и ах + в = 0 3. Два решения: х = 0 и х = -в/а 1. Деление обеих частей уравнения на а. х 2 = 0 2. Одно решение: х = 0.

РЕШИ НЕПОЛНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЕШИ НЕПОЛНЫЕ УРАВНЕНИЯ : 1 вариант: 2 вариант: а) 2 х + 3 х 2 = 0 а) 3 х 2 – 2 х = 0 б) 3 х 2 – 243= 0 б) х 2 = 0 в) 6 х 2 = -10 х – 2 х( 5 – 3 х). в) -12 х – 6 х(2 – 3 х) = 18 х 2

Проверь товарища 1 вариант а) х(2+3 х)=0, х=0 или 2+3 х =0, 3 х = -2, х= -2/3. Ответ: 0 и -2/3. б) 3 х 2 = 243, х 2 = 243/3, х 2 = 81, х =-9, х= 9. Ответ: -9 и 9. в) 6 х 2 = - 10 х -10 х + 6 х 2, 6 х х +10 х - 6 х 2 =0, 20 х = 0, х=0. Ответ: 0. 2 вариант а) х(3 х -2) =0, х=0 или 3 х-2 =0, 3 х = 2, х = 2/3. Ответ: 0 и 2/3. б) - 5 х 2 = - 125, х 2 = -125/-5, х 2 = 25, х = - 5, х = 5. Ответ: -5 и 5. в) - 12 х -12 х +18 х х 2 = 0, - 24 х = 0, х = 0. Ответ: 0.

Динамическая пауза а) 3 х 2 – 5 х - 2 = 0 б) 4 х 2 – 4 х + 1= 0 в) х 2 – 2 х +3 = 0 г) 6 х 2 – х + 4 = 0 д) 12 х - х 2 = 0 е) х 2 = 0 ж) 5 х 2 – 4 х + 2 = 0 з) 4 х 2 – 3 х -1= 0 и) х 2 – 6 х + 9= 0 к) х – 6 х 2 = 0 л) - х + х 2 – 15 = 0 м) - 9 х = 0

Способы решения полных квадратных уравнений 1. Выделение квадрата двучлена. 2.Формула: D = b 2 - 4ac, x 1,2 = 3. Теорема Виета.

От чего зависит количество корней квадратного уравнения? Ответ: От знака D - дискриминанта. D=0 D < 0 D > 0 1 корень Нет корней два корня Х=-в/2 аХ=(-в+D)/2 а

Вычисли дискриминант и определи количество корней квадратного уравнения 1 вариант а) 3 х 2 – 5 х - 2 = 0 б) 4 х 2 – 4 х + 1= 0 в) х 2 – 2 х +3 = 0 2 вариант а) 5 х 2 – 4 х + 2 = 0 б) 4 х 2 – 3 х -1= 0 в) х 2 – 6 х + 9= 0

Проверь товарища D= b 2 -4ac 1 вариант а) D =(-5) 2 - 4*3*(-2) = 49, 2 корня; б) D =(-4) 2 - 4*4*1 = 0, 1 корень; в) D =(-2) 2 - 4*1*3 = -8, нет корней 2 вариант а) D =(-4) 2 - 4*5*2 = -24, нет корней; D =(-3) 2 - 4*4*(-1) = 25, 2 корня; D =(-6) 2 - 4*1*9 = 0, 1 корень

РЕШИ УРАВНЕНИЯ с помощью формулы : 1 вариант: 2 вариант: 2 х х -7 = 0 2 х х -3= 0

Проверь себя 1 вариант 2 х х -7 = 0, D = *2* (-7)= 81 = 9 2, х = (-5 -9)/2*2=-14/4=- 3,5, х =(-5 +9)/4=4/4=1. Ответ: -3,5 и 1. 2 вариант 2 х х -3= 0, D = 5 2 – 4*2* (-3)= 49 = 7 2, х = (-5 -7)/2*2=-12/4= -3, х = (-5 +7)/4= 2/4= 0,5. Ответ: -3 и 0,5.

Исторические сведения: Квадратные уравнения впервые встречаются в работе индийского математика и астронома Ариабхатты. Другой индийский ученый Брахмагупта (VII в) изложил общее правило решения квадратных уравнений, которое практически совпадает с современным. В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. Задачи часто облекались в стихотворную форму. ________________________________________________ Вот задача Бхаскары: Обезьянок резвых стая, всласть поевши, развлекалась. Их в квадрате часть восьмая на полянке забавлялась. А двенадцать по лианам стали прыгать, повисая. Сколько ж было обезьянок, ты скажи мне, в этой стае?

Решение задачи Бхаскары: Пусть было х обезьянок, тогда на поляне забавлялось – ( х/8) 2 и 12 прыгали по лианам. Составим уравнение: ( х/8) = х, х 2 / – х =0, /*64 х х = 0, D = (-64) 2 -4*1*768 =4096 – 3072 = 1024 = 32 2, 2 корня х= (64 -32)/2 = 16, х= ( )/2 = 48. Ответ: 16 или 48 обезьянок.