Тригонометрические функции

Тригонометрические функции острого угла есть отношения различных пар сторон прямоугольного треугольника 1) Синус - отношение противолежащего катета к гипотенузе: sin A = a / c. 2) Косинус - отношение прилежащего катета к гипотенузе: cos A = b / c. 3) Тангенс - отношение противолежащего катета к прилежащему: tg A = a / b. 4) Котангенс - отношение прилежащего катета к противолежащему: ctg A = b / a. 5) Секанс - отношение гипотенузы к прилежащему катету: sec A = c / b. 6) Косеканс - отношение гипотенузы к противолежащему катету: cosec A = = c / a. Аналогично записываются формулы для другого острого угла B

П р и м е р : Прямоугольный треугольник ABC ( рис.2 ) имеет катеты: a = 4, b = 3. Найти синус, косинус и тангенс угла A. Р е ш е н и е. Во-первых, найдём гипотенузу, используя теорему Пифагора: c 2 = a 2 + b 2, Согласно вышеприведенным формулам имеем: sin A = a / c = 4 / 5 cos A = b / c = 3 / 5 tg A = a / b = 4 / 3

Для некоторых углов можно записать точные значения их тригонометрических функций. Наиболее важные случаи приведены в таблице: Углы 0° и 90°, не являются острыми в прямоугольном треугольнике, однако при расширении понятия тригонометрических функций эти углы также рассматриваются. Символ в таблице означает, что абсолютное значение функции неограниченно возрастает, если угол приближается к указанному значению.

Связь тригонометрических функций острого угла

Тригонометрические функции двойного угла: sin 2x = 2 sinx cosx cos 2x = cos2x - sin2x tg 2x = 2 tg x /(1- tg2x) ctg 2x = ctg2x-1/(2 ctg x)

Тригонометрические функции половинного угла Часто бывают полезны формулы, выражающие степени sin и cos простого аргумента через sin и cos кратного, например: Формулы для cos2x и sin2x можно использовать для нахождения значений Т. ф. половинного аргумента

Тригонометрические функции суммы углов sin(x+y)= sin x cos y + cos x sin y sin(x-y)= sin x cos y - cos x sin y cos(x+y)= cos x cos y - sin x sin y cos(x-y)= cos x cos y + sin x sin y

Для больших значений аргумента можно пользоваться так называемыми формулами приведения, которые позволяют выразить Т. ф. любого аргумента через Т. ф. аргумента x, что упрощает составление таблиц Т. ф. и пользование ими, а также построение графиков. Эти формулы имеют вид: в первых трёх формулах n может быть любым целым числом, причём верхний знак соответствует значению n = 2k, а нижний - значению n = 2k + 1; в последних - n может быть только нечётным числом, причём верхний знак берётся при n = 4k + 1, а нижний при n = 4k - 1.

Важнейшими тригонометрическими формулами являются формулы сложения, выражающие Т. ф. суммы или разности значений аргумента через Т. ф. этих значений: знаки в левой и правой частях всех формул согласованы, то есть верхнему (нижнему) знаку слева соответствует верхний (нижний) знак справа. Из них, в частности, получаются формулы для Т. ф. кратных аргументов, например:

Производные всех Тригонометрических функций выражаются через Тригонометрические функции

График функции y = sinx имеет вид:

График функции y = cosx имеет вид:

График функции y = tgx имеет вид:

График функции y = ctgx имеет вид:

История возникновения тригонометрических функций Т. ф. возникли впервые в связи с исследованиями в астрономии и геометрии. Соотношения отрезков в треугольнике и окружности, являющиеся по существу Т. ф., встречаются уже в 3 в. до н. э. в работах математиков Древней Греции - Евклида, Архимеда, Аполлония Пергского и др. Однако эти соотношения не являются у них самостоятельным объектом исследования, так что Т. ф. как таковые ими не изучались. Т. ф. рассматривались первоначально как отрезки и в такой форме применялись Аристархом (конец я половина 3 вв. до н. э.)

Гиппархом (2 в. до н. э.), Менелаем (1 в. н. э.) и Птолемеем (2 в. н. э.) при решении сферических треугольников. Птолемей составил первую таблицу хорд для острых углов через 30' с точностью до Разложение Т. ф. в степенные ряды получено И. Ньютоном (1669). В современную форму теорию Т. ф. привёл Л. Эйлер (18 в.). Ему принадлежат определение Т. ф. для действительного и комплексного аргументов, принятая ныне символика, установление связи с показательной функцией, ортогональности системы синусов и косинусов