«Производная и ее применение в алгебре, геометрии».

Цель работы: Закрепление изученного материала по теме «Производная» и ознакомление с её прикладной частью. Закрепление изученного материала по теме «Производная» и ознакомление с её прикладной частью.

План работы: План работы: 1. Исследование функции на монотонность 2. Касательная к графику. 3.Наибольшие, наименьшие значения функций. 4. Нахождение дифференциала для приближенных вычислений. 5. Доказательство неравенств.

Определение производной Определение производной Производной данной функции в точке х называется предел отношения приращения этой функции к приращению аргумента в точке х, когда приращение аргумента стремится к нулю. Производной данной функции в точке х называется предел отношения приращения этой функции к приращению аргумента в точке х, когда приращение аргумента стремится к нулю.

. Будем считать, что рассматриваемая функция y=f(x) определена и дифференцируема в каждой точке отрезка a x b. функция f(x) возрастает (или убывает) в промежутке a<x<b, если: производная f '(х) не отрицательна (или не положительна) в промежутке а<х<b, f '(x) 0 (или f '(x) 0) Пример. Определить промежутки возрастания и убывания функции: у = х 3 х 2 8 х Исследование функции на монотонность

Решение: Чтобы применить признаки возрастания и убывания функции, найдем производную данной функции и определим значения х, при которых она положительна или отрицательна: Решение: Чтобы применить признаки возрастания и убывания функции, найдем производную данной функции и определим значения х, при которых она положительна или отрицательна: у' = Зх 2 2 х 8. у' = Зх 2 2 х 8. Корни трехчлена: x 1 = - 4/3, x 2 =2. Корни трехчлена: x 1 = - 4/3, x 2 =2. Отсюда: Отсюда: у' =3(х+4/3)(х-2). у' =3(х+4/3)(х-2). возрастает убывает возрастает возрастает убывает возрастает + -4/ / Ответ: функция возрастает в промежутках Ответ: функция возрастает в промежутках - < x < -4/3 и 2 < x < + и убывает в промежутке 4/3 < х <2. - < x < -4/3 и 2 < x < + и убывает в промежутке 4/3 < х <2.

Вообразим, что на кривой АВ точка М неограниченно приближается к неподвижной точке С, секущая СМ при этом вращается вокруг точки С. Может случиться, что, независимо от того, будет ли точка М приближаться к С в направлении от A к С или от В к С (на черт точка M'), существует одна и та же прямая СТ предельное положение секущей СМ. Вообразим, что на кривой АВ точка М неограниченно приближается к неподвижной точке С, секущая СМ при этом вращается вокруг точки С. Может случиться, что, независимо от того, будет ли точка М приближаться к С в направлении от A к С или от В к С (на черт точка M'), существует одна и та же прямая СТ предельное положение секущей СМ. 2. Касательная к графику AC M B γ Y 0 B A M T C M X φα

Определение. Прямая СТ, предельное положение секущей СМ, называется касссательной к кривой в точке С. Точка С называется точкой прикосновения или касссания. Если к линии y=f(x) в точке х имеется касссательная, непараллельная Оу, то угловой коэффициент касссательной равен значению производной f '(х), в точке х. Если функция y=f(x) имеет определенную производную в точке х, то: 1) в этой точке имеется касссательная к графику функции, 2) угловой коэффициент ее равен значению производной f '(x) в точке х.

Задача. Найдите площадь треугольника AMB, если A и B точки пересечения с осью OX касссательных, проведенных к графику y = (9x 2 )/6 из точки M(4;3). Решение. указ =y(x 0 )+у(x 0 )(xx 0 );y(x 0 ) = 1/6 (-2x) = -x/3; т.к. указ проходит через M(4;3), то 3 = (9x 0 2 ) (4x 0 ) x 0 /3 x x 0 9 = 0; Д/4 = = 25; x 0 = 9; x 0 = -1 указ 1 = ( x – 9) = -3x + 15 указ 2 = 4/3 + 1/3 (x + 1) = 1/3x + 5/3 5 А A(5;0); B(-5;0); AM = 2 5 (ед.); М AB = 10 (ед.); 3 BM = 45 (ед.); 4 р/2 = S = (35 +5) (5 +5 ) (5 - 5 ) (3 5 -5) S = 20 ( кв.ед. ). В Ответ: 20 кв.ед.

Задача. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 с ребрами CD = 24, AD= 6 и Задача. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 с ребрами CD = 24, AD= 6 и DD 1 =4 проведена плоскость через центр симметрии грани A 1 B 1 C 1 D 1, вершину А и точку Р, лежащую на ребре DC. Какую наименьшую площадь может иметь сечение параллелепипеда этой плоскостью? На какие части делит точка P ребро DC в этом случае? DD 1 =4 проведена плоскость через центр симметрии грани A 1 B 1 C 1 D 1, вершину А и точку Р, лежащую на ребре DC. Какую наименьшую площадь может иметь сечение параллелепипеда этой плоскостью? На какие части делит точка P ребро DC в этом случае?. 3.Наибольшие, наименьшие значения функций Решение. Проведем плоскость и построим сечение (рис.). АО АA 1 C 1 С - линия, принадлежащая данной плоскости. Продолжим АО до пересечения с CC 1 в точке S. Тогда SP - линия пересечения грани DD 1 C 1 C и данной плоскости, а сечение ANMP - параллелограмм. S сеч = S AMNP = SK AP/2 SK/2 высота параллелограмма ANMP.

AB D P A1A1 C K L S M N O D1D1 C1C1 B1B A1A1 C1C1 C A O S 4 4 DC BA 24-x L Px K В ΔASC ОC 1 - средняя линия (значит SC 1 = 4), в ΔPSC также средняя линия МC 1, а плоскость A 1 B 1 C 1 D 1 делит пополам любую линию между S и плоскостью ABCD, а значит и SK.

Пусть PC = x; ΔCLP подобен ΔDАР Пусть PC = x; ΔCLP подобен ΔDАР LC/AD = x/(24x), LC = 6x/(24 – x). LC/AD = x/(24x), LC = 6x/(24 – x). Из ΔCLP: KC = (6x x/(24x))/((36x 2 /(24x) 2 )+x 2 ) = Из ΔCLP: KC = (6x x/(24x))/((36x 2 /(24x) 2 )+x 2 ) = = 6x/((36+ (24x) 2 ); = 6x/((36+ (24x) 2 ); Из ΔSCK: SK = SC 2 + KC 2 = 64+36x 2 /(36+(24x) 2 ) = 216+9x 2 /(36+(24x) 2 ) ; Из ΔSCK: SK = SC 2 + KC 2 = 64+36x 2 /(36+(24x) 2 ) = 216+9x 2 /(36+(24x) 2 ) ; Из ΔADP: AP = 36+(24x) 2 ; Из ΔADP: AP = 36+(24x) 2 ; S сеч = APSK/2 = 0,5(36+(24x) 2 ) 216+9x 2 /(36+(24x) 2 ) = S сеч = APSK/2 = 0,5(36+(24x) 2 ) 216+9x 2 /(36+(24x) 2 ) = =16(36+(24x) 2 )+9x 2 ; =16(36+(24x) 2 )+9x 2 ; Если S(x) = 0, то 18x+16 2(24x)(-1) = 0; 50x768 = 0, x = 384/25 (это точка min); S сеч = 312; DP = 24384/25 = 216/25; Ответ: 312 кв. ед.; DC- 384/25; 216/25. Ответ: 312 кв. ед.; DC- 384/25; 216/25.

4. Нахождение дифференциала для 4. Нахождение дифференциала для приближенных вычислений. приближенных вычислений. Определение. Дифференциалом (dy) функции y=f(x) называется произведение значения производной f '(х) на произвольное приращение x аргумента х, т. е. dy=f '(x)x (I) (I) при достаточно малом x y dy =f '(х)x Это означает, что при малых изменениях аргумента (от начального значения х) величину изменения функции y=f(x) можно приближенно считать пропорциональной величине изменения аргумента с коэффициентом пропорциональности, равным значению производной f '(x); f(x+x) f(x) + f '(x) f(x+x) f(x) + f '(x) x

Пример: Вычислить приближенно с помощью дифференциала.. В нашем случае:,,. Вычисляем: ;,. Имеем :.

Если функция f имеет положительную (отрицательную) производную в каждой точке некоторого промежутка, то она возрастает (убывает) на этом промежутке. При нахождении промежутков монотонности нужно иметь в виду, что если функция возрастает (убывает) на интервале (a,b) и непрерывна в точках a и b, то она возрастает (убывает) на отрезке [a,b]. Если функция f имеет положительную (отрицательную) производную в каждой точке некоторого промежутка, то она возрастает (убывает) на этом промежутке. При нахождении промежутков монотонности нужно иметь в виду, что если функция возрастает (убывает) на интервале (a,b) и непрерывна в точках a и b, то она возрастает (убывает) на отрезке [a,b]. 5. Доказательство неравенств. Для отыскания наибольших и наименьших значений f на отрезке [a,b] достаточно сравнить между собой значения f в точках a, b и в критических точках из отрезка [a,b]. Эти результаты применимы при решении многих элементарных задач, связанных с неравенствами.

Задача. Доказать что (e+x) e-x > (e-x) e+x для 0 (e-x) e+x для 0 < x < e. Решение. Решение. Данное неравенство равносильно следующему: Данное неравенство равносильно следующему: (e - x) ln(e + x) > (e + x) ln(e - x). (e - x) ln(e + x) > (e + x) ln(e - x). Пусть f(x)=(e-x) ln(e + x) - (e + x) ln(e - x), Пусть f(x)=(e-x) ln(e + x) - (e + x) ln(e - x), тогда f / (x)= -ln(e + x)+(e - x)/(e + x) - ln(e - x)+(e + x)/(e - x). тогда f / (x)= -ln(e + x)+(e - x)/(e + x) - ln(e - x)+(e + x)/(e - x). Так как (e - x)/(e + x)+ (e + x)/(e - x)=2(e 2 +x 2 )/(e 2 -x 2 ) > 2, Так как (e - x)/(e + x)+ (e + x)/(e - x)=2(e 2 +x 2 )/(e 2 -x 2 ) > 2, ln(e + x)+ln(e - x)=ln(e 2 -x 2 ) < lne 2 = 2, ln(e + x)+ln(e - x)=ln(e 2 -x 2 ) < lne 2 = 2, то f / (x) > 0 при 0 0 при 0 0 при 0 0 при 0 < x < e. Отсюда получаем решение задачи.