Теорема Штейнера. Момент инерции Я́коб Ште́йнер ( ) Размещено на

Рассмотрим прямую (ось) и систему материальных точек с массами, так, что расстояние от i-ой точки до оси равно. Величина называется моментом инерции системы относительно оси 1. Определение момента инерции Для непрерывно распределенных масс Для однородного ( ) тела

2. Физический смысл момента инерции Момент инерции представляет собой меру инерции тела во вращательном движении Произведение момента инерции тела на его угловое ускорение равно сумме моментов всех сил, приложенных к телу Для сравнения вращательное движение поступательное движение

3a. Моменты инерции простейших 1-D и 2-D тел Стержень. Ось проходит через середину стержня, перпендикулярно ему

3b. Моменты инерции простейших 1- D и 2-D тел Диск. Ось проходит через середину диска, перпендикулярно ему

3c. Моменты инерции простейших 1-D и 2-D тел Прямоугольный треугольник. Ось проходит через катет

4a. Моменты инерции простейших 3-D тел Прямоугольный параллелепипед.

4b. Моменты инерции простейших 3-D тел Шар. Ось проходит через центр Из соображений симметрии

5. Радиус инерции Момент инерции относительно оси можно выразить в виде Стержень Диск Треугольник Параллелепипед Шар Величина называется радиусом инерции тела относительно данной оси По определению радиус инерции есть длина, равная расстоянию от данной оси той точки, в которой нужно сосредоточить массу всей системы, чтобы получить тот же момент инерции.

Момент инерции I относительно оси равен сумме момента инерции I C тела относительно параллельной оси, проходящей через масс и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями 6. Теорема (Гюйгенса-Штейнера) о параллельных осях Очевидное обобщение

Момент инерции плоской фигуры относительно оси z, перпендикулярной плоскости фигуры, равен сумме моментов инерции фигуры относительно двух других осей, лежащих в ее плоскости 7. Теорема о перпендикулярных осях

8. Примеры использования теорем

9. Примеры использования теорем

10. Примеры использования теорем

11. 3-D тела

12. 3-D тела

13. Моменты инерции относительно осей, выходящих из данной точки моменты инерции относительно осей центробежные моменты инерции

14. Тензор инерции Тензор инерции Некоторые свойства тензора инерции:1) Симметричность 2) Положительная определенность 3) Неравенства для Геометрическое толкование: из трех отрезков, длины которых пропорциональны моментам инерции относительно трех перпендикулярных осей, всегда можно построить треугольник 4) Неравенства для

15. Эллипсоид инерции Тензору соответствует квадратичная форма и поверхность уровня В силу положительной определенности поверхностью уровня является эллипсоид Его называют эллипсоидом инерции. Физический смысл эллипсоида инерции Проведем через начало координат в направлении оси прямую до пересечения с эллипсоидом инерции. Обозначим через длину соответствующего отрезка, а через координаты точки пересечения. Длина радиуса-вектора эллипсоида инерции обратно пропорциональна корню квадратному из момента инерции относительно оси, направленной по этому радиусу

16. Свойства симметрии Пусть ось x есть ось симметрии Если однородное абсолютно твердое тело имеет ось симметрии, то эта ось будет главной осью инерции для всех точек данной оси Тогда каждой частице будет соответствовать такая же частица Eсли однородное абсолютно твердое тело имеет плоскость симметрии, то для всех точек этой плоскости одна из главных осей инерции будет к ней перпендикулярна Примем плоскость симметрии за плоскость ху. Всякой частице будет соответствовать такая же частица

17. Пример использования симметрии тела главные оси инерции

18. Вычисление моментов инерции относительно произвольных осей Пусть для тела известны главные центральные моменты инерции Дана прямая. Как вычислить для нее момент инерции? 1) Проводим прямую через центр масс 2) Находим углы между и главными осями инерции 3) Вычисляем момент инерции относительно оси 4) По теореме Гюйгенса-Штейнера вычисляем момент инерции относительно оси

19. Пример Требуется определить момент инерции прямого кругового конуса относительно образующей SB; радиус основания конуса равен R, высота равна Н. главные центральные оси инерции по таблицам

Спасибо за внимание! Размещено на