Решение квадратных неравенств, содержащих параметр Методическая разработка учителя Поляковой Е. А.

Определение Каждое из неравенств вида : m x² + p x+ q > 0, m x² + p x+ q < 0, m x² + p x+ q 0, где m, p, q – числа или функции от параметра, х – переменная, причём m 0, называется квадратным неравенством с параметром

Примеры квадратных неравенств, содержащих параметр 1. mх² + (2m – 3)х + m (b + 1)х²+(2b – 1)х + b + 2> 0 3. х² – (3 а + 6)х + 2 а² + 11 а + 5<0 4. cх² – 2(2c + 1)х +3c² + 8c – 3>0 5. (k – 2)х² – 2kх + 2k– 3<0 6. nх² – 2nх – 1<0 7. ах² + 4 х + а + 3<0

Знаем, что квадратичная функция задаётся формулой y = a x² + b x + c, где а 0. Решение квадратного неравенства сводится к отысканию нулей квадратичной функции и промежутков, на которых квадратичная функция принимает положительные или отрицательные значения. Напомним «поведение» параболы y = ax² + bx + c в зависимости от значения a и дискриминанта.

х х х х х х у у у у у у D>0 D<0 D=0D=0 D=0D=0 Поведение графика функции у = а х² + b x + c

Решить неравенство mx² + (2m + 1)x + m + 2 > 0. Решение. 1) m = 0, тогда: х + 2>0, х > -2. 2) m 0; D=(2m + 1)² 4m(m + 2)= = 4m² + 4m + 1 4m² 8m = 1 4m. 1 4m = 0, 4m = 1, m =, то есть D = 0 при m = Знаки D: + m 0 +

mx² + (2m+1)x + m + 2 > 0, D=1 4m. Находим корни квадратного трёхчлена: D = 0 при m =, тогда = 3. m 0 D>0 D<0

3) Решаем исходное неравенство для каждого из случаев: итак, при, т. е. при решение неравенства:

, т. е при решение неравенства: где, т. е. при решение неравенства x R

4) Решаем исходное неравенство для каждого из случаев: итак, при, т. е при m < 0 решение неравенства х ( х 1 ; х 2 )

Для каждого m покажем решение исходного неравенства 5) Записываем ответ. m 0

Алгоритм решения квадратного неравенства, содержащего параметр 1. Решить неравенство при условии, что первый коэффициент равен нулю (при m = 0). 2. Найти дискриминант, определить его знаки в зависимости от параметра; найти корни квадратного трёхчлена, учитывая при всём этом, что m Решить неравенство, если:

4. Решить неравенство, если: 5. Записать ответ.