Сыктывкар 2007 Муниципальное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа 26 с углубленным изучением отдельных предметов» Исполнитель: Алиев Вадим Руководитель: Пасынкова Лидия Ивановна ИСТОРИЯ РАЗВИТИЯ ЗАДАЧ ИСТОРИЯ РАЗВИТИЯ ЗАДАЧ

2 Цели и задачи Цель: Проследить историческое развитие задачи. Задачи : Исследовать решение старинных задач различных стран и сравнить их решение с современным.

3 Задачи Древнего Вавилона За длину окружности вавилоняне принимали периметр вписанного За длину окружности вавилоняне принимали периметр вписанного в эту окружность правильного шестиугольника. Найти приближение для П, которым пользовались вавилоняне. Сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равняется радиусу, следовательно, 2 П R = 6R, следовательно П = 6R/2R = 3

4 Задачи Древнего Вавилона Для определения площади четырехугольника вавилоняне брали произведение полусумм противоположных сторон. Выяснить, для каких четырехугольников эта формула точно определяет площадь. Согласно условиям задачи площадь четырехугольника S = (a + b) / 2 * (c + d) / 2 Где а, b и с, d две пары противоположных сторон. Допустим, а = b и с = d, тогда четырехугольник превращается в прямоугольник и площадь его S= ас.

5 Задачи Древней Греции Определить расстояние от берега до корабля на море. Решение задачи самим Фалесом: Для определения расстояния от точки A на берегу (рис.1) до недоступной точки В (местонахождение корабля на море) строился треугольник АВС с доступной точкой С на берегу, после чего отрезки АС и ВС продолжались по другую сторону от точки С и строился треугольник CDE, такой, что CD = AC, угол АСВ равен углу DCE, угол CDE равен углу САВ. Тогда по теореме о равенствах двух треугольников, имеющих равными сторону и два угла, получаем AB = DE.

6 Задачи Древней Греции Задача из «Арифметики» Диофанта. Решить систему

7 Задачи Древней Греции Диофант эту систему решал так: из уравнения x + y = 10 имеем (x + y) / 2 = 5. Положим теперь (x – y) / 2 = z. Сложив последние два уравнения получим х = 5 + z. Произведя вычитание этих же уравнений, будем иметь y = 5 – z. Тогда x 2 + y 2 = (5 + z) 2 +(5 - z) 2 или x 2 + y 2 = z 2 Принимая во внимание второе уравнение данной системы, получим 68 = z 2, или 2z 2 = 18. Откуда z 2 = 9, z = 3. Следовательно, х = 8, у = 2.

8 Задачи Древнего Египта Задача из папируса Райнда. У семи лиц по семи кошек; каждая кошка съедает по семи мышей, каждая мышь съедает по семи колосьев, из каждого колоса может вырасти по семь мер ячменя. Как велики числа этого ряда и их сумма? Здесь имеется пять членов геометрической прогрессии со знаменателем 7: 7, 49, 343, 4201, Теперь подсчитаем сумму

9 Задачи Древнего Египта Задача из Московского папируса. Определить длину сторон прямоугольника, если известно их отношение и площадь фигуры. Обозначив через х и у искомые длины сторон, сводим задачу к системе уравнений Перемножив эти уравнения, получим

10 Задачи Древней Индии 20 работников могут выполнить работу в 30 дней. Сколько работников могут сделать ту же работу в 5 дней? 5 – 20 – 30 Затем действовали по правилу: перемножь второе и третье и раздели на первое – 20 * 30 = 600; 600 / 5 = / 5 = 6 (раз) больше потребуется работников * 6 = 120 (раб)

11 Задачи Древней Индии Задача из «Веды»: В старинной легенде о происхождении шахмат рассказывается, что изобретатель шахмат, которому было предложено запросить любую награду, попросил положить ему в награду на первую клетку шахматной доски одно зерно, на вторую – 2 зерна, на треть – 4 зерна и т. д. Сколько зерен запросил мудрец? …+2 63 = =

12 Задачи Древней Руси Задача Л. Ф. Магницкого (из «Арифметики»). Некий человек нанял работника на год, обещав ему дать 12 рублей и кафтан. Но тот по случаю, проработав 7 месяцев, восхотел уйти и просил достойную плату с кафтаном. Ему дали по достоинству 5 рублей и кафтан. Какой цены был оный кафтан? За год работник должен был получить 12 рублей и кафтан, т. е. за каждый проработанный месяц ему должны начислять 1 рубль и 1/12 стоимости кафтана. За проработанные 7 месяцев работник должен был бы получить 7 рублей и 7/12, стоимости кафтана, а получил 5 рублей и кафтан. Следовательно, 5/12 стоимости кафтана соответствуют 2 рублям. Следовательно, цена кафтана была

13 Задачи Древней Руси Четыре плотника у некоего гостя нанялись двора ставите. И говорит первый плотник так: только б де мне одному тот двор ставите, я бы де его поставил един годом. А другой молвил: только бы де мне одному тот двор ставите, и я бы де его поставил в два года. А третий молвил: только бы де мне одному тот двор ставите, и я бы де его поставил в три года. А четвертый так рек: только бы де мне одному тот двор ставите, и я бы де его поставил в четыре года. Ино все те четыре плотника учалы тот двор ставите вместе. Ино, сколь долго они ставили, сочти мне. Составитель рукописи решает задачу так: за 12 лет первый плотник построит 12 дворов, второй 6 третий 4 и четвертый 3. Следовательно, за 12 лет все они вместе построят 25 дворов. Таким образом, все четыре плотника вместе один двор построят за 175 дня.