«Создании программного обеспечения для нахождения производных функций» Выполнил: Андрющенко Дмитрий, ученик 11 «В» класса. Научный руководитель: Симакова М.Н., учитель математики; Симаков Е.Е., учитель информатики

Цели работы: Углублении имеющихся знаний о производной и сферах ее применении. Изучении методов аппроксимации и численного дифференцирования функций. Разработка программного обеспечения для численного дифференцирования функций на основе изученных методов.

Задачи работы: Изучить методы аппроксимации и численного дифференцирования функций. Рассмотреть примеры применения производной функции для решения различных задач. Разработать программное обеспечении для численного дифференцирования в объектно-ориентированной среде программирования Delphi.

История введения производной Термин производная ввел в 1797 г. Ж. Лагранж гг. Первое определении функции, связанное с геометрическими представлениями, дал Иоганн Бернулли в 1718 г – 1748 гг. Эйлеру принадлежит символ функции f (х) гг.

Определении производной Пусть функция y = f(x) определена в некотором интервале (a; b). Аргументу x придадим некоторое приращении : y 0 х Найдем соответствующее приращении функции: x+Δxx+Δx х f(x ) f(x+ Δx ) Если существует предел то его называют производной функции y = f(x) и обозначают одним из символов:

Производные элементарных функций

Производные высших порядков: Если f'(x) является дифференцируемой в некоторой точке x интервала (a,b), то есть имеет в этой точке производную. Тогда данную производную называют второй производной и обозначают f (2) (x), f''(x) или y (2), y''(x). (u(x)v(x)) (n) = u(n)v+nu(n-1)v'+(n(n-1)/2)u(n-2)v''+...+ uv(n) = k = 0 n C n k u(n-k)v(k), Где C n k = (n(n-1)(n-2)...(n-k+1))/k!, u(0) = u, v(0) = v.

Пример : Пусть y = e x (x 2 -1). Найти y (10). Решении. Положим u(x) = e x,v(x) = (x 2 -1). Согласно формуле Лейбница: y (10) = (e x ) (25) (x 2 -1)+10(e x ) (9) (x 2 -1)'+(10· 9/2) (e x ) (8) (x 2 -1)'',так как следующие слагаемые равны нулю. Поэтому y (10) = e x (x 2 - 1)+10e x 2x+(10· 9/2)e x (2) = e x (x 2 +20x+89).

Производная сложной функции Пусть y = f(u) и u = φ(x), тогда y = f(φ(x)) – сложная функция с промежуточным аргументом u и независимым аргументом x. Теорема Если функция u = φ(x) имеет производную в точке x а функция y = f(u) имеет производную в соответствующей точке u, то сложная функция имеет производную, которая находится по формуле: Это правило остается в силе, если промежуточных аргументов несколько:

Производные функций от нескольких переменных. Частные производные. Частной производной функции нескольких переменных по одному из её аргументов называется предел отношения частного приращения функции по этому аргументу к соответствующему приращению аргумента при условии, что приращении аргумента стремится к нулю: – это частная производная функции z по аргументу x; – это частная производная функции z по аргументу у.

Пример нахождения частных производных заданной функции z = 2x 5 + 3x 2 y + y 2 – 4x + 5y – 1 Решении:

Аппроксимация Аппроксима́ция, или при ближе́нии научный метод, состоящий в замене одних объектов другими, в каком-то смысле близкими к исходным, но более простыми.

Интерполяционные формулы Ньютона формулы вычислительной математики, применяющиеся для полиномиального интерполирования Короткая форма интерполяционной формулы Ньютона биномиальные коэффициенты.

Интерполяцио́нный многочленн́н Лагра́нжа Интерполяцио́нный многочленн́н Лагра́нжа.

Методы численного дифференцирования применяются, если исходную функцию f(x) трудно или невозможно продифференцировать аналитически. Например, эта функция может быть задана таблично. Задача численного дифференцирования – выбрать легко вычисляемую функцию (обычно полином), для которой при ближенно полагают.

Пример Найти приближённо при для. Решении. Построим интерполяционный полином для на отрезке Возьмём и узлы интерполирования..

ху 1-ая 2-ая 1,691,30,37-0,05 1,961,40,34 2,251,5 Построим таблицу разделённых разностей:

Возьмём многочленнн Ньютона интерполирования вперёд: Тогда производная будет Отметим, что значении

Реализация числового дифференцирования производной по формулам Ньютона